تناهی ابعاد ، از خواص و عوارض جسم و از مقاصد و مباحث علم طبیعی. تناهی، به معنای حد و طرف داشتن و محدود بودن است و عدم تناهی به معنای بی‌حد و نامحدود بودن. تناهی به معنای حقیقی، وصفی است که به کمیّت و امور کمّی، به جهت کمیّت آنها، تعلق می‌گیرد. به عبارت دیگر، تناهی حقیقی از لوازم ذاتی کمیّت است؛ بنابراین، چیزی که کمیّت ندارد، نهایت ندارد و به سلب مطلق متصف به عدم تناهی است، مانند نقطه که چون کمیّت ندارد نهایت نیز ندارد اما خود نقطه نهایت و طرف خط است و خط به آن محدود می‌شود. اینگونه سلب تناهی از نقطه، از قبیل دیده نشدنِ صداست، زیرا صدا دارای وصفی که دیدن به آن تعلق گیرد نیست. قسم دیگر عدم تناهی، که در بارة وجود آن بحث و نزاع است، این است که یک شی‌ء به جهت ماهیت و طبیعتش نهایت بردار است ولی نهایت ندارد، مانند خطی که مفروضاً نامتناهی است. نامتناهی به این نحو بدین معنی است که «هر چه از آن بر گیری باز از آن چیزی باقی می‌ماند» (ابن‌سینا، 1405، ج 1، فن 1، ص 209ـ 210).بحث در بارة عدم تناهی و امکان وجود امور نامتناهی همواره یکی از موضوعات مورد توجه فیلسوفان و ریاضیدانها بوده است و در این باب آرای گوناگونی بیان شده است (در این‌باره رجوع کنید به ارسطو، ص 108ـ113؛ ابن‌سینا، 1405، ج 1، فن 1، ص 209ـ211؛ ابوالبرکات بغدادی، ج 2، ص 80 ـ81؛ نیز رجوع کنید به لاریجانی، ص 79ـ105؛ نامتناهی * ). یکی از مواضع بحث در بارة نامتناهی، در حکمت قدیم، در بحث از جسم و ماهیت و اجزای آن است که با عنوان تناهی ابعاد مطرح شده است (برای نمونه رجوع کنید به ابن‌سینا، 1405، ج 1، فن 1، ص 209ـ219؛ صدرالدین شیرازی، 1313، ص54 ـ57؛ لاهیجی، ج2، ص339ـ 343؛ سبزواری، ص 222ـ223).بُعد (جمع آن ابعاد) عبارت است از فاصله و امتدادِ قابل اشارة حسی که میان دو حدی که با هم تلاقی و برخورد ندارند قرار گرفته است (ابن‌سینا، 1366 ش الف ، متن عربی، ص 31). مراد از ابعاد در مسئلة تناهی ابعاد، امتدادهای سه‌گانة طول و عرض و عمق است که بر جسم عارض می‌شوند و بنابراین قائم به جسم‌اند و به این اعتبار آنها را ابعاد مادّی می‌گویند ( رجوع کنید به صدرالدین شیرازی، 1313، ص 7،10ـ11). علاوه بر این ابعاد، برخی حکما قائل به وجود بُعد مجردند، یعنی بُعدی که قائم به جسم و مادّه نباشد، و مکان را چنین بُعدی دانسته‌اند. در نظر ایشان مکان، بُعد یا ابعاد میانیِ اطرافی است که یک جسم در میان آن قرار می‌گیرد و تجرد این ابعاد نظیر تجرد موجودات مثالی است که در عالمی میان عالم عقول و عالم جسمانی قرار دارند. این قول را به افلاطون و پیروان اشراقی او نسبت داده‌اند ( رجوع کنید به ابن‌سینا، 1405، ج 1، فن 1، ص 115؛ صدرالدین شیرازی، 1337 ش، سفر دوم، ج 1، ص 43؛ سبزواری، ص 254). نظر صدرالدین شیرازی (1337 ش، سفر دوم، ج 1، ص 42ـ 48) و سبزواری (همانجا) نیز در بارة مکان همین است. عده‌ای از کسانی که در بارة مکان چنین می‌اندیشند، معتقدند که وقتی چیزی این بُعد را پر کند محال است که آن را خالی کند، مگر اینکه جسم دیگری جای آن را بگیرد و پر کند. بنا بر رأی گروهی دیگر، این بُعد ممکن است گاهی خالی و گاهی پر باشد؛ یعنی به وجود خلأ * نیز قائل‌اند ( رجوع کنید به ابن‌سینا، 1405، ج 1، فن 1، ص 116). بسیاری از متکلمان مکان را بُعد موهوم دانسته‌اند ( رجوع کنید به سبزواری، ص 253ـ254؛ نیز رجوع کنید به مکان * ). همچنین بنا بر رأی برخی، برای ابعاد سه‌گانة طول و عرض و عمق (که از امور ریاضی و تعلیمی به شمار می‌روند)، فردی عقلانی و مجرد از مادّه در عالم مفارقات موجود است که مبدأ پیدایش افراد مادّی و طبیعیِ این ابعاد در عالم مادّی‌اند (ابن‌سینا، 1376 ش، ص 321ـ322؛ صدرالدین شیرازی، 1337 ش، سفر اول، ج 2، ص 73؛ جوادی آملی، ج 2، بخش 1، ص 388).رأی مشهور و اجماع حکما بر این است که ابعاد جسم، متناهی و محدود به حدی است و برای اثبات مدعای خود براهینی اقامه کرده‌اند ( رجوع کنید به ادامة مقاله). در عین حال، بنا بر قول لاهیجی (ج 2، ص 339)، حکمای هند و گروهی از متقدمان و نیز ابوالبرکات بغدادی ( رجوع کنید به ج 2، ص 85 ـ86) از متأخران، به عدم تناهی ابعاد قائل شده‌اند.ارسطو (ص 125ـ127) وجود مقدار نامتناهیِ از طریق افزایش را، چه بالفعل چه بالقوه، محال دانسته و در این باب برهانی اقامه کرده است. در متون و منابع فلسفة اسلامی نیز برای اثبات تناهی ابعاد براهینی اقامه شده است که عبارت‌اند از: سُلّم یا سُلّمی، تطبیق، تُرسی، حفظ‌النسبة، مُسامتة، و موازات ( رجوع کنید به ابن‌سینا، 1403، ج 2، ص 59 ـ60، 68ـ73؛ همو، 1405، ج 1، فن 1، ص 212ـ215؛ ابوالبرکات بغدادی، ج 2، ص 83 ـ84؛ صدرالدین شیرازی، 1337 ش، سفر دوم، ج 1، ص 21ـ24؛ لاهیجی، ج2، ص339ـ343). برهان تُرسی و برهان حفظ‌النسبة تقریر دیگری از برهان سُلّمی است ( رجوع کنید به لاهیجی، ج2، ص341). برهان تُرسی را شیخ اشراق سهروردی ( رجوع کنید به ج 4، الالواح العمادیة ، ص 39) با تغییر و تصرف در برهان سُلّمی برای تقویت آن در اثبات مدعا ابداع کرده است (لاهیجی، همانجا).برهان سُلّم یا سُلّمی. در میان براهین مذکور برای اثبات تناهی ابعاد، این برهان معمولاً بیش از سایر براهین در این باب، مورد توجه و نقد و بررسی بوده است. این برهان را در متون فلسفة اسلامی، نخست ابن‌سینا ( رجوع کنید به 1403، ج 2، ص 59 ـ60، 68ـ70؛ همو، 1405، ج 1، فن 1، ص 215)، با تصحیح و تقریر جدیدی از برهانی که حکمای پیشین اقامه کرده بودند، بیان کرد. عنوان برهان سُلّمی یا سُلّم بدین جهت است که چون شکل آن ــ بنا بر فرضی که در برهان می‌شود ــ ترسیم شود، شبیه نردبان (= سُلّم) است (ابن‌سینا، 1366 ش ب ، ص 353، پانویس). تقریر اولیة این برهان بدین شرح است: فرض می‌کنیم که از نقطة الف، دو خط مانند دو ساق مثلث تا بی‌نهایت امتداد یابد. معلوم است که هر قدر طول این دو ساق افزایش یابد، فاصله و بُعد میان آن دو (که به منزلة وتر است) افزایش می‌یابد. پس اگر افزایش طول آن دو ساق نهایتی نداشته باشد، بُعد میان آن دو نیز نامتناهی خواهد بود و چون این بُعد یا وترِ نامتناهی در میان آن دو خط واقع شده، و به عبارت دیگر محصور و محدود میان دو حد است، اشکال حصرِ نامتناهی لازم می‌آید و این محال است، زیرا لازمة حصرِ نامتناهی این است که متناهی باشد و این تناقض است؛ چون امتداد غیرمتناهی دو ساق مستلزم چنین محالی است، وجود خود آن دو ساقِ نامتناهی نیز محال است (سبزواری، ص 222).ابن‌سینا (1405، ج 1، فن 1، ص 214ـ215) بر برهان سلّمی اشکال کرده، سپس با افزودن مقدماتی آن را اصلاح نموده است. اشکال وی بدین شرح است که تعداد نامتناهی افزایش دو ساق ملازم با عدم تناهی بُعد میان آن دو نیست، چنانکه در عدد نیز هر تعدادی که بر آن افزوده شود حتی به دفعات غیرمتناهی، باز هم می‌توان بر آن افزود و هیچ اشکال عقلی لازم نمی‌آید، زیرا نتیجة حاصل از افزایش متناهی بر مقدار متناهی، متناهی است («الزائدُ علی المتناهی بقدرِالمتناهی، مُتَناهٍ»). در فرض دو ساق ممتد مذکور اگر به دفعات نامتناهی بر آنها مقداری اضافه شود، چون هر بار مقداری متناهی به آن دو افزوده می‌شود، از افزایش مقدار متناهی بر متناهی، بُعد نامتناهی لازم نمی‌آید. ابن‌سینا (همان، ج 1، فن 1، ص 215؛ همو، 1403، ج 2، ص 59 ـ60، 68ـ70) سپس با ذکر چهار مقدمه، تقریر صحیح برهان سلّم را در اثبات تناهی ابعاد عرضه می‌کند. مقدمة اول: اگر وجود ابعاد غیرمتناهی ممتنع نباشد، پس جایز است که از نقطة واحدی (مثلاً الف) دو خط نامتناهی مانند دو ساق مثلث (مثلاً خط «الف ب» و «الف ج») که پیوسته فاصلة میان آنها افزوده می‌شود، تا بی‌نهایت امتداد یابد. مقدمة دوم: همچنین جایز است که ابعادی میان دو ساق مذکور فرض شود که به یک نسبت افزایش پذیرد. مثلاً، اگر بُعد اول یک متر باشد، بُعد دوم نیم متر افزون بر بُعد اول یعنی یک مترونیم باشد، و بُعد سوم نیم‌متر افزون بر بُعد دوم یعنی دومتر باشد و همچنین سایر ابعاد مفروض میان دو ساق مفروض. مقدمة سوم: جایز است که ابعاد میان دوساق مذکور («الف ب» و «الف ج») نامتناهی باشد، بنابراین، افزایش تفاوت ابعاد نیز نامتناهی خواهد بود. مقدمة چهارم: در هر بُعدی که میان دو ساق فرض شود علاوه بر مقداری که بر آن افزوده می‌شود باید مشتمل بر امتداد بُعد قبلی باشد؛ بنابراین، ممکن است بُعدی موجود باشد که علاوه بر امتداد زائد بر امتداد بُعد قبلی، مشتمل بر تمام افزوده‌های ابعاد قبلی‌اش باشد. نتیجة حاصل از ترکیب و تلفیق مقدمات مذکور این است که یا بُعد واحدی که مشتمل بر تمام افزایشهای نامتناهی مادونش باشد موجود است یا موجود نیست. شق دوم باطل است زیرا در این صورت بین دو ساق «الف ب» و «الف ج»، یا بُعدی موجود خواهد بود که فوق آن بُعدی نیست، یا بین آن دو ساق، بُعدی موجود است که فوق آن، [ بی‌نهایت ] ابعاد دیگر هست. در صورتی که چنین بُعدی موجود نباشد، انقطاع و در نتیجه تناهی دوساق مذکور لازم می‌آید و این خلاف فرض است؛ چون فرض بر عدم‌تناهی دو ساق مذکور بود. پس مطلوب، یعنی تناهی‌ابعاد، ثابت می‌شود و اگر بُعدی موجود باشد که فوق آن نیز ابعادی مشتمل بر افزایشهای نامتناهی موجود باشد در این صورت لازم می‌آید که بُعد نامتناهی، میان دو ساق مذکور واقع شود؛ بنابراین، نامتناهی محدود و محصور بین دو حد خواهد بود، و این خلاف فرض است، زیرا هر چیزی که میان دوحد قرار گیرد محدود و متناهی است و به عبارت دیگر لازم می‌آید که یک چیز هم متناهی و هم نامتناهی باشد، و این تناقض و محال است؛ پس، عدم‌تناهی ابعاد، که مستلزم تناقض و محال است، خود نیز محال است (ابن‌سینا، 1403، ج 2، ص 61ـ72، شرح نصیرالدین طوسی؛ همچنین برای اطلاع از اشکالات وارد شده بر این برهان و پاسخهای داده شده رجوع کنید به همو، 1404، ج 1، ص 29ـ31، شرح فخرالدین رازی؛ همو، 1403، ج 2، ص 61ـ70، شرح قطب‌الدین رازی؛ لاهیجی، ج 2، ص 340ـ341؛ سبزواری، ص 223ـ224).برهان مُسامته. کره‌ای فرض می‌کنیم و یک قطر آن را در نظر می‌گیریم، این قطر، متناهی است. در صورتی که بُعد نامتناهی ممکن باشد می‌توان یک خط نامتناهی به موازات قطر کره فرض کرد. در این حال دو خط موازی وجود دارد: یکی قطر کره و دیگری خط نامتناهی. اگر کره را به سمت خط نامتناهیِ موازیِ قطر کره حرکت دهیم، در این صورت خط قطری، از موازاتِ با آن خط نامتناهی خارج می‌شود و به سمت آن متمایل می‌گردد. این حالت را مسامته می‌گویند. در صورتی که وجود خط نامتناهی محال نباشد، لازم می‌آید مسامته و حرکت کره محال باشد. چون تالی فاسد است، پس مقدّم نیز باطل است. دلیل بطلان تالی این است که مسامته، امری حادث است. هر حادثی اول دارد. پس مسامتة قطر کره با خط نامتناهی نیز باید نقطة اول داشته باشد. اگر خط مفروض، متناهی باشد، اولین نقطة مسامته در رأس آن خط است. اما در این خط نامتناهی، نقطة اول مسامته نمی‌تواند موجود باشد، زیرا هر نقطه‌ای که فرض شود بالاتر از آن نیز نقطة دیگری هست چون نامتناهی است. نمی‌توان گفت مسامته هم با نقطة تحتانی است و هم با نقطة فوقانی، چون اولین نقطة مسامته فقط یک نقطه است. همچنین نمی‌توان گفت که اولین نقطة مسامته، در نقطة تحتانی است نه در نقطة فوقانی؛ چون طفره لازم می‌آید. نیز نمی‌توان نقطة فوقانی را اولین نقطة مسامته دانست، چون فوق آن باز نقطة دیگری هست و بالاتر از آن نیز تا بی‌نهایت نقاط دیگری وجود دارد. در این صورت، هیچ نقطه‌ای در این خط نامتناهی اولین نقطة مسامته نیست. پس مسامته بدون اول خواهد بود و این امر، به‌دلیل حادث بودن مسامته، محال است. بنابراین فرض و نتیجة حاصل از آن، حرکت کره محال خواهد بود، حال آنکه حرکت کره محال نیست، بلکه واقع شده است. پس خط نامتناهی محال است (ابن‌سینا، 1403، ج 2، ص 73، شرح نصیرالدین طوسی؛ لاهیجی، ج ، ص 342ـ343؛ سبزواری، ص 225). برهان موازات مبتنی بر عکس فرض مذکور در برهان مسامته است (سبزواری، همانجا). لاهیجی (ج 2، ص 343) این دو برهان را به دلیل اشکالات وارد بر آنها، ضعیف شمرده است (نیز رجوع کنید به ابن‌سینا، 1403، ج 2، ص 71ـ72، شرح قطب‌الدین رازی؛ برای توضیح و تقریر برهان تطبیق رجوع کنید به تسلسل * ؛ برای توضیح و تقریر براهین دیگر رجوع کنید به لاهیجی، ج 2، ص 341).گفتنی است که تناهی ابعاد از مقدّمات برخی مسائل دیگر در علم طبیعی و مابعدالطبیعه (فلسفة اولی) است، مانند اثبات محدِّدالجهات که از مسائل علم طبیعی است، و مانند اثبات تلازم مادّه و صورت که از مسائل امور عامه در مابعدالطبیعه به شمار می‌رود (ابن‌سینا، 1403، ج 2، ص 60، شرح نصیرالدین طوسی، همان، ج 2، ص 60ـ61، شرح قطب‌الدین رازی؛ سبزواری، ص222؛ نیز رجوع کنید به مادّه و صورت * ؛ فلک * ).منابع: ابن‌سینا، الاشارات والتنبیهات ، مع‌الشرح لنصیرالدین طوسی و شرح‌الشرح لقطب‌الدین رازی، تهران 1403؛ همو، الالهیّات من کتاب‌الشّفاء ، چاپ حسن حسن‌زاده آملی، قم 1376 ش؛ همو، حدود، یا، تعریفات ، ترجمة محمد مهدی فولادوند، همراه متن عربی، تهران 1366 ش الف ؛ همو، شرحی‌الاشارات ، لنصیرالدین طوسی و لفخرالدین رازی، [ قاهره ] 1306، چاپ افست قم 1404؛ همو، الشفاء،الطبیعیات ، ج 1، الفن‌الاول: السماع‌الطبیعی ، چاپ ابراهیم مدکور و سعید زاید، قاهره 1385/1965، چاپ افست قم 1405؛ همو، فنون سماع طبیعی، آسمان و جهان، کون و فساد از کتاب شفا ، ترجمة محمدعلی فروغی، تهران 1366 ش ب ؛ ابوالبرکات بغدادی، الکتاب‌المعتبر فی‌الحکمة ، حیدرآباد دکن 1357ـ 1358، چاپ افست اصفهان 1373 ش؛ ارسطو، سماع طبیعی ، ترجمة محمدحسن لطفی تبریزی، تهران 1378 ش؛ عبداللّه جوادی آملی، رحیق مختوم: شرح حکمت متعالیه ، ج 2، بخش 1، قم 1376؛ هادی‌بن مهدی سبزواری، شرح منظومه: [ قسمت فلسفه ] ، چاپ سنگی [ تهران ] 1298؛ یحیی‌بن حبش سهروردی، مجموعه مصنّفات شیخ‌اشراق ، ج 4، چاپ نجفقلی حبیبی، تهران 1380 ش؛ محمدبن ابراهیم صدرالدین شیرازی، الحکمة المتعالیة فی‌الاسفار العقلیة الاربعة ، تهران 1337 ش، چاپ افست قم [ بی‌تا. ] ؛ همو، شرح‌الهدایة‌الاثیریة ، [ چاپ سنگی تهران 1313 ] ، چاپ افست [ بی‌جا، بی‌تا. ] ؛ علی‌لاریجانی، «نقد آراء حکما در باب تناهی ابعاد»، در آیت حُسن: جشن نامة بزرگداشت استاد حسن‌زادة آملی ، زیر نظر مهدی گلشنی، تهران: پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی، 1374 ش؛ عبدالرزاق‌بن علی‌لاهیجی، شوارق‌الالهام فی شرح تجریدالکلام ، چاپ سنگی تهران 1306.
