جبر و مقابله ، با تحولاتی که بهویژه از قرن نوزدهم میلادی تاکنون رخ داده، واژة جبر امروز بر یکی از علوم ریاضی اطلاق میشود که موضوع آن بررسی ساختارهای جبری (گروه، حلقه، هیئت،...) است، اما در این مقاله ما آن را به معنایی محدودتر، و تاریخیتر، بهکار خواهیم برد. در این معنی، جبر علمی است که موضوع آن حل معادلات و نیز عملیات بر روی چند جملهایهاست. این علم در دوران اسلامی «جبر» یا «جبر و مقابله» نامیده میشده است.معنای واژههای جبر و مقابله. واژة«الجبر» (در فارسی: «جبر») نخستین بار در عنوان کتاب المختصر فیحساب الجبر و المقابلة تألیف محمدبن موسی خوارزمی * بهکار رفته و پس از آشنایی اروپاییان با این کتاب (ادامة مقاله) با مختصر تغییراتی (مثلاً به صورت algebra در انگلیسی و algةbre در فرانسه) به زبانهای دیگر راه یافته است. این واژه از ریشة جَبَرَ در عربی گرفته شده که به معنای شکستهبندی و جُبران است، اما خوارزمی آن را بر عملِ افزودن جملههای مساوی بر دو سوی یک معادله، برای حذف جملههای منفی، اطلاق میکند. واژة «مقابله»، که آن هم در عنوان کتاب خوارزمی دیده میشود،به معنای حذف مقادیر مساوی از دو طرف معادله است( رجوع کنید بهمحمدبن موسی خوارزمی، ص40). نویسندگان آثار دایرةالمعارفی، از جمله محمدبن احمد خوارزمی (متوفی 387؛ ص200) و فخررازی (زندگی، 543 ـ 6061؛ ص 393) و ابناکفانی (ص 84) و طاشکوپریزاده (ج1، ص 369) و حاجیخلیفه (ج 1، ستون 579) و غالب جبردانان پس از خوارزمی، از جمله ابوبکر محمد کَرَجی * (قرن چهارم)، واژة جبر را به همین معنی بهکار بردهاند (نیز رجوع کنید بهبلوستا ، ص74). ابوکامل شجاعبناسلم * (نیمةدوم قرنسوم) نیز مشتقات واژة جبر را به همین معنی بهکار میبرد. مثلاً برای حل معادلة 80 = x 20ـ100 میگوید: «صد درهم را با بیست شیء جبر کن و آن را با هشتاد جمع کن (فَاجْبُرِ المِائةَ درهم بِالعشرین شیء وَزِدْهابالثمانینَ)» تا بهصورت 100=80+ x 20 درآید ( رجوع کنید به ابوکامل، 1406 الف ، ص49ـ50؛ همو، 1406 ب ، ص69). ابوریحان بیرونی ( التفهیم ، متن عربی، ص37، متن فارسی، ص48ـ49). عمل جبر را به افزودن مقادیر مساوی به دو کفة ترازو برای حفظ تعادل آن تشبیه میکند و در این تمثیل، بیآنکه به آن تصریح کند، به اصول a + c = b + c a = b و a - c = b - c a = b از اصول متعارف کتاب اصول اقلیدس (ج1، ص155) استناد میجوید. خواجهنصیرالدین طوسی (597 ـ672؛ 1335 ش، ص 19ـ20) و غیاثالدین جمشید کاشانی (متوفی832؛ ص189) و ابنغازی مکناسی (متوفی919؛ ص 228) نیز جبر و مقابله را به همین صورت تعریف کردهاند. با این حال ابنبنّای مراکشی (654ـ 721)، هرچند در کتاب خود بخشی را به جبر و مقابله به معنای متعارف آن اختصاص داده، در جای دیگری واژة «جبر» را به «اصلاح» معنی میکند و آن را به معنی تقسیم مقدار ثابت به ضریب مجهول در معادلة ax = b میداند (ص 56؛ نیز رجوع کنید بهقَلَصادی، ص 151ـ152). اما قلصادی (ص 247)، جبر را به همان معنای اصطلاحی بهکار برده است. کاربرد ابنبنّا نیز هرچند با معنی متعارف جبر متفاوت است، بهنحوی با ریشة لغوی این کلمه ارتباط دارد. به این دلایل، نظر صلیبا (1983) که این واژه را مشتق از ریشة جَبَرَ به معنای مجبور کردن و ناگزیر کردن میداند و غرض خوارزمی را از آن «بیرون کشیدن» ریشة یک معادله میشمارد پذیرفتنی نمینماید.جایگاه جبر در میان علوم. در طبقهبندیهای یونانیان از علوم، نام علم جبر جزء علومریاضی نیامدهاست. نخستین کسی که جبر را در طبقهبندی علوم داخل کرده فارابی است که در احصاءالعلوم خود بخشی را به «علمالحیل» یا «علوم الحیل» اختصاص داده است. این علوم، که فارابی در تعریف آنها میگوید: «علمِ شیوة چارهجویی است برای کاربرد آنچه وجودشان در ریاضیات با برهان ثابت شده در اجسامطبیعی و ایجاد و وضع آنها بالفعل» (ص88)، جز «علمحیل» بهمعنای متعارف آن و نیز «علم آینههای سوزان»، که جزء «حیل هندسی» هستند، دستة دیگری از علوم را نیز دربرمیگیرد که فارابی آنها را «حیل عددی» مینامدو شامل «علمی است در میان مردم زمان ما به جبر و مقابله معروف است» (ص89). از اینکه فارابیجبر را جزء علوم حیل آورده، معلوم میشود که از نظر او هنوز جبر نه علمی برهانی بلکه مجموعهای از شگردها برای استخراج ریشههای معادلات شمرده میشده است. این دیدگاه به نحوی در طبقهبندی ابنسینا از علوم هم منعکس شده است. وی در رسالة فیاقسام العلوم العقلیة (ص122) جبر را جزء «اجزاء فرعی (الاقسام الفرعیة) ریاضیات» آورده و آن را، در کنار «عمل جمع و تفریق بر حَسَب حساب هندی» یکیاز «شاخههای علم اعداد (من فروع علم العدد)» شمرده است. در تقسیمبندی ابنسینا، علم «حیل هندسی»، در کنار «علم اثقال، صناعت اوزان و موازین، مناظر و مرایا و آینهها» جزء فروع علم هندسه شمرده شده است. همین طبقهبندی در رسالهای از خواجهنصیر طوسی نیز بعینه تکرار شده است ( رجوع کنید بهنصیرالدین طوسی، 1359 ش، ص 527). بدینترتیب، در تقسیمبندی ابنسینا آنچه فارابی «علوم حیل» نام داده، با تفصیل بیشتر، «اقسام فرعی علوم ریاضی» نام گرفته است. با این حال، ابنسینا برخی از این رشتهها را «علم» (علم المساحة، علمالحیل المتحرکة، علم نقل المیاه) و برخی دیگر، از جمله جبر، را «عمل» مینامد. ظاهراً خصوصیت مشترک دستةاخیر عملی بودن آنهاست. ابنسینا در تقسیمبندیهای دیگری که از علوم کرده است این علوم فرعی را ذکر نمیکند ( رجوع کنید به منطقالمشرقیین ، ص5 ـ 6، که تصریح میکند که تنها علوم اصلی را ذکر کرده است).در تعریف کرجی (قرن چهارم هجری رجوع کنید به ادامة مقاله)، جبر و مقابله یکی از روشهای «حساب» است، اما تعریف کرجی از حساب بسیار کلیتر از مفهوم حساب به عنوان مجموعهای از روشها و «عبارت است از به دست آوردن مجهولات از معلومات» (کرجی، 1964، ص 7؛ همو، 1406، ص 97)، این تعریف خود در واقع از مفهوم جدید جبر متأثر است. تعریفی که کرجی از روشهای حساب به دست میدهد هم حل معادلات سیّال و معیّن را شامل میشود و هم حساب چند جملهایها را.خیام در رسالة جبر و مقابلة خود (ص 7، ترجمة فارسی، ص 159؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهابزاده، ص 117)، «صناعت جبر و مقابله» را یکی از «مفاهیم ریاضی» میشمارد «که در بخشی از فلسفه که به ریاضی معروف است، بدان نیاز میافتد». هرچند خیام در این عبارت در صدد به دست دادن تعریفی جامع و مانع از جبر نیست، اما از نوشتة او چنین استفاده میشود که جبر اولاً «صناعت» است و ثانیاً جزء علوم ریاضی است. نتیجة کلی سخن خیام این است که جبر در طبقهبندی کلی علوم فلسفی قرار میگیرد، هرچند او جایگاه آن را در میان این علوم مشخص نمیکند. وی همچنین در تعریف جبر مینویسد که «فن جبر و مقابله فنی علمی است که موضوع آن عدد مطلق و مقادیر قابل سنجش است از آن جهت که مجهولاند ولی مرتبط با چیز معلومی هستند که به وسیلة آن میتوان آنها را استخراج کرد» (ص 8 ـ9، ترجمة فارسی، ص161؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهابزاده، ص 120ـ 121). بنابراین، در نظر خیام، مقادیر عددی و مقادیر هندسی هر دو میتوانند ریشة معادلات جبری باشند. خیام در رسالة دیگر خود بهنام فیقسمة ربعالدائرة (این رساله، با عنوان رسالة لابی الفتح عمربن ابراهیم الخیامی بهچاپ رسیده است) نیز تلویحاً با این فکر که جبر مجموعهای از شگردها («حیله»، توجه کنید که در تقسیمبندی فارابی جبر جزء «علوم الحیل» قرار میگیرد) باشد مخالفت میکند. خیام مینویسد: «و آنکه گمان برده است که جبر حیلهای [ شگردی ] برای استخراج اعداد مجهول است، امر نامعقولی را گمان بردهاست. ... جبر و مقابله اموری هندسی است که بهوسیلة اَشکال پنجم و ششم مقالة دوم [ اصول اقلیدس ] مبرهن میشود» (ص65ـ66، ترجمة فارسی، ص 264؛ نیز رجوع کنید بهراشد و وهابزاده، ص251). به این ترتیب، جبر و مقابله، از نظر خیام، علمیهندسی است و چون هندسیاست بُرهانی نیز هست. این اختلاف در جایگاه جبر به دلیل تازگی این علم و دو تصوری است که از آغاز این علم بهموازات هم وجود داشته است.در طبقهبندیهای متأخر (مثلاً حاجیخلیفه، ج 1، ستون 578) علم جبر و مقابله «از فروع علم حساب» شمرده شده است. اما باید توجه داشت که این طبقهبندیها به دورانی تعلق دارند که دستاوردهای بزرگ علم جبر دوران اسلامی فراموش شده و از آن تقریباً چیزی جز حل شش دسته معادلة خوارزمی باقی نمانده بود.پیشینة علم جبر. مسائلیکه یافتن مقدار مجهول در آنها به حل معادلات جبری درجة اول و دوم، و گاه به حل دستگاهی از معادلات، منجر میشود، از گذشتة بسیار دور در تمدنهای گوناگون شناخته بوده است و برخی از مورخان مانند بارتل وان در واردن ریشة این مسائل را به دورانهای پیش از تاریخ میرسانند ( رجوع کنید بهواردن، 1983). مصریانباستان با دستور (الگوریتم) حل معادلات درجة اول آشنا بودند و بابلیها، از حدود 1700 پیش از میلاد، نه تنها راهحل معادلات درجة اولودوم را میشناختند (نویگهباور ، ص40ـ42)، بلکه برخی از معادلات از درجات بالاتر، و حتی حالات خاصی از معادلات درجة هشتم، را حل میکردند (همان، ص 48). با این حال، آنچه از این تمدنها به دست ما رسیده، فقط مجموعههایی از مسائل عددی است. راهحلها، هرچند در مورد معادلات درجة اول و دوم کلیت دارند، از طریق مسائل عددی خاص بیان میشوند و معلوم نیست به چه طریق به دست آمدهاند و در مسائلی که درجة آنها از دو بیشتر است، دستورهای حل معادلات تنها در موارد خاص کاربرد دارند.از عصر زرین ریاضیات یونانی (قرنهای پنجم و چهارم و سوم پیش از میلاد)، هیچ اثری در زمینة جبر به دست ما نرسیده است. به نظر میآید که علاقة یونانیان به برهان دقیق، و نیز کشف کمیات ناهمسنجه ، توجه ریاضیدانان یونانی را یکسره به هندسه معطوف کرده بوده است. در فلسفة یونانی، به صورتی که در آثار ارسطو آمده، و تأثیر آن در آثار ریاضیدانان یونانی چون اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس دیده میشود، کمیتها به دو دستة کاملاً متمایز تقسیم میشوند: اعداد، که منظور از آن اعداد طبیعی است (یعنی مضربهای واحد؛ خودِ واحد تجزیهناپذیر محسوب میشود) و مقادیر، که کمیّات هندسی (طول و سطح و حجم)اند. مفهوم کلی «عدد حقیقی» (شامل اعداد گویا و گُنگ) بیمعنی است، اعداد گویا (کسرها) به صورت «نسبت»هایی میان اعداد طبیعی تعریف میشوند و موجوداتی که امروزه عدد گنگ مینامیم با پارهخط، و نسبت میان آنها با نسبت میان پارهخطها، نمایش داده میشوند. با این حال، وجود برخی روشها در کتاب مخروطات آپولونیوس (قرن سوم پیش از میلاد) و برخی از قضایا در مقالات دوم و ششم و دهم کتاب اصول اقلیدس (تألیف شده در حدود 300 پیش از میلاد) گروهی از مورخان را معتقد کرده است که یونانیان از نوعی جبر هندسی استفاده میکردهاند. اصطلاح «جبر هندسی» را نخستین بار ریاضیدان دانمارکی زویتن در کتاب خود به نام ) نظریة مقاطع مخروطی در دوران باستان ( ابداع کرده است. زویتن دریافت که در کتاب مخروطات آپولونیوس، خواص اصلی مقاطع مخروطی از راه عملیاتی بر روی پارهخطها از یک سو، و سطوح از سوی دیگر، بیان شده است که همان خواص جمعی و ضربی را دارند که امروزه در کتابهای جبر آموخته میشود (واردن، ص 75). مفهوم جبر هندسی را با مثالهایی از کتاب اصول اقلیدس بهتر میتوان توضیح داد. مثلاً قضیة اول از مقالة دوم اصول (ج 1، ص 375) به این صورت است:هرگاه دو خط مستقیم داشته باشیم و یکی از آنها را به تعداد دلخواهی پارهخط تقسیم کنیم، مستطیلی که از دو خط مستقیم تشکیل شود، برابر با مجموع مستطیلهایی است که از پارهخط دیگر و هریک از قطعات تشکیل میشود.اگر قطعات پارهخط اصلی را به b و c و... و پارهخط دیگر را به a نمایش دهیم، این قضیه خاصیت پخشپذیری جمع نسبت به ضرب را بیان میکند (شکل 1):a (b + c +...) = ab + ac + ...همچنین قضیة چهارم از مقالة دوم اصول (ج 1، ص 379) میگوید که اگر پارهخطی را به دو بخش تقسیم کنیم، مربعیکه بر روی کل پارهخط ساخته میشود مساوی است بامجموع مربعهایی که بر روی هریک از دو بخش ساخته میشوند و دو مستطیلی که از دو بخش به دست میآید. هرگاه طول دو پارهخط را با نمادهای a و b نمایش دهیم، این قضیه با اتحاد جبری ab 2 + 2 + b 2 = a 2 (a + b) معادل است (شکل 2).مهمتر از این دو، از لحاظ تاریخ علم جبر، قضیة پنجم از مقالة دوم کتاب اصول (ج 1، ص 382) است: هرگاه پارهخط AB را در نقطة C به دو قسمت مساوی AC و CB و در نقطة D به دو قسمت نامساوی AD و DB تقسیم کنیم، مستطیلی که یک ضلع آن AD و ضلع دیگری آن DB باشد به اضافة مربعی که هر ضلع آن CD باشد مساوی است با مربعی که روی CB (نصف پارهخط اصلی) ساخته شود.اینقضیه بدین معنی است که در شکل 3، مستطیل AEDG به اضافة مربع FGIJ مساویاست با مربع CBIK . چنانکه در این شکل فرض کنیم که AB = a و DB = x ، آنگاه این قضیه به معادلة 2 = b 2 ax - x منجر میشود (همان، ج 1، ص 383). اما چنین تعبیری مستلزم این اعتقاد است که هر طولی را میتوان با عددی نمایش داد، درحالیکه در سنّت یونانی هرچند هر عددی را با طولی نمایش میدادند، معتقد نبودند که در برابر هر طولی هم عددی وجود داشته باشد. همچنین است ترسیماتی که در قضایای بیست و هشتم و بیست و نهم از مقالة ششم کتاب اصول (ج 2، ص 261ـ267) خواسته شده و معادل با حل یک معادلة درجة دوم است.به همین دلیل، چه در اصول اقلیدس و چه در مخروطات آپولونیوس، مساحت مستطیل هیچگاه به صورت حاصل ضرب اضلاع آن نشان داده نمیشود، بلکه مساحت هر شکل با مساحتی دیگرسنجیدهمیشود.ازاینرو، هرچند آپولونیوس،در مخروطات ، خواص مقاطع مخروطی را از طریق مفهومی بهنام نشانه بررسی میکند که بهمفهوم امروزیِ معادلة مقطع مخروطی بسیار نزدیک است، بااینحال، وی همواره نشانه را بهصورت برابری دو سطح بیان میکند. بنابراین، تعبیر جبری قضایای فوق توجیهی ندارد. همچنین، هرچند برخی از ترسیمات هندسی مقالة ششم کتاب اصول نیز، هرگاه به زبان نمادهای جبری ترجمه شوند، به حل معادلاتی از مرتبة اول و دوم منجر میشوند، اما تعبیر جبری این قضایا نیز با همان مشکل پیشین مواجه است. همچنین است مقالة دهم اصول ، که بسیاری از قضایای پیچیدة آن، به زبان جبری، معادل با گویا کردن اعداد گنگ است. با این حال، مسئلة جبر هندسی یونانی، و بهویژه تعبیر مقالات «جبری» کتاب اصول اقلیدس، در بین مورخان ریاضیات همچنان مورد بحث است.در این میان یک استثنای مهم وجود دارد و آن کتاب الحساب دیوفانتوس اسکندرانی است. موضوع این کتاب که تاریخ دقیق تألیفش معلوم نیست اما احتمالاً در قرن سوم میلادی تألیف شده (هیث، ج 2، ص 448)، «لوژیستیک یا شاخة محاسباتی حساب است که در حل مسائل عملی از آن استفاده میشود» ( زندگینامة علمی دانشوران ، ج 4، ص 111). در ریاضیات یونانی، «لوژیستیک» مجموعهای از فنون محاسبه بود و معمولاً در مقابل «فن حساب» قرار میگرفت که دانشی برهانی محسوب میشد. کتاب الحساب در اصل در هفت مقاله بوده که اصل یونانی مقالات اول تا سوم و ترجمة عربی چهار مقالة دیگر آن در دست است ( رجوع کنید به دیوفانتوس اسکندرانی، صناعة الجبر ، مقدمة راشد، ص 8 ـ13)، و مجموعهای است از مسائل معیّن (معادلات یک مجهولی یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها بهتعداد معادلات است) و نامعیّن (سیال، معادله یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها بیش از تعداد معادلات است). دیوفانتوس در تنظیم این معادلات ترتیب خاصی را رعایت نکرده است. در مورد هر معادله یا هر دستگاه از معادلات، دیوفانتوس راهحل را عرضه میکند و در مورد معادلات سیال جوابهای گویا را بهدست میآورد و در این کار غالباً به تغییر متغیرهای هوشمندانه و روشهای بدیع برای کاستن از درجة معادلات متوسل میشود ( زندگینامة علمی دانشوران ، همانجا). گذشته از این، دیوفانتوس نامهایی برای توانهای مختلف اعداد ابداع کرده است و نیز نخستین نشانههای مختصر نویسی در جبر (انتخاب برخی از حروف الفبای یونانی برای نمایش توانهای مجهول) در کار او دیده میشود. همچنین، دیوفانتوس دو عمل را تعریف میکند که برای ساده کردن معادلات انجام میگیرد (واردن، ص 98). یکی ازایندو عمل بعدها در کتاب خوارزمی «جبر» و دیگری «مقابله» نام میگیرد ( د. اسلام ، چاپ دوم، ذیل «الجبر و المقابله»).خوارزمی و پیدایش علم جبر. نخستین اثر مستقل در جبر کتابی است از محمدبنموسی خوارزمی که به کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابلة معروف است (هرچند کلمة «المختصر» در عنوان آن دیده نمیشود) و در زمان خلافت مأمون (بین سالهای 198 و 218) تألیف شده است (خوارزمی، ص15). با اینکه خوارزمی (ص16) تصریح میکند که هدف او نوشتنکتابی است که در مسائل عملی مربوط به تقسیم میراث و مسّاحی و تجارت به کار آید، و بخشهایی از کتاب نیز بهاین گونه مسائل اختصاص دارد، اهمیت این کتاب عمدتاً در ارزش نظری آن است. زیرا در این کتاب است که علم جبر، به صورت یک علم مستقل با واژگان و مفاهیم و روشهای خاصی که آن را از حساب و هندسه متمایز میکنند، متولد میشود. این امر از روشی که خوارزمی در معرفی موجودات جبری بهکار میبرد پیداست.وی (همانجا) نخست عدد را، به سنّت یونانی، به صورت ترکیبی از واحدها تعریف میکند، سپس سلسلههای زیر را میسازد:1، 2، 3،...، 9، 101+10 ،2+10 ، 3+10، ...، 9+10 ،10*21+10*2، 2+10*2،...، 9+10*2، 3*10...10*10 = 2 10....2* 2 10...10* 2 10 = 3 10آنگاه خوارزمی، از روی قیاس با این سلسلههای عددی، موجوداتی را که در علم جبر به کار میرود تعریف میکند. این موجودات عبارتاند از شیء (مقدار مجهول یا x ) که به قیاس با ضریب بخش دهگانی (ضریب 10) در یک عدد دو رقمی ساخته میشود، مال (توان دوم مقدار مجهول یا 2 x ) که به قیاس بخش صدگانی (ضریب 2 10) در یک عدد صدگانی ساخته میشود، و عدد یا درهم (مقدار معلوم)، که متناظر است با ارقام 1 تا 9 در سلسلة اعداد دهگانی. به این ترتیب، موجودات جبری شکل تعمیمیافتهای از اعداد حسابی به نظر میآیند. یعنی عدد مطلق (مفرد) متناظر است با یکی از اعداد 1 تا 9 در دستگاه دهگانی، تکجملهای مرتبة اول ax ( a و x اعداد گویای مثبتاند) متناظر است با عدد m 10، که در آن m یکی از ارقام 1 تا 9 است و تکجملهای مرتبة دوم 2 ax متناظر است با عدد m 2 10. سپس خوارزمی (ص 17ـ 18) به تقسیمبندی معادلاتی میپردازد که از ترکیبهای مختلف این موجودات با یکدیگر حاصلمیشود. به این طریق شش دسته معادله، از درجات اول و دوم، بهدست میآید:1) شیءهایی مساوی با عددی است: ax = b ،2) مالی مساوی با عددی است: = a 2 x ،3) مالی مساوی با شیءهایی است: = ax 2 x ،4) مالی به اضافة شیءهایی مساوی با عددی است:+ ax = b 2 x ،5) مالی به اضافة عددی مساوی شیءهایی است:+ a = bx 2 x ،6) مالی مساوی با شیءهایی بهاضافة عددی است := bx + a 2 x ،ضریبهای a و b همواره اکیداً مثبت (مثبت و مخالف صفر)اند. در نمونههایی که خوارزمی ذکر میکند، همة ضرایب اعداد صحیحاند اما، چنانکه خواهیم دید، جانشینان او معادلاتی با ضرایب کسری و حتی گنگ را هم در نظر میگیرند.خوارزمی (ص 18) معادلات (4) تا (6) را مقترنات نام داده است و جبردانان پس از او معادلات (1) تا (3) را مفردات نامیدهاند. این شش معادله، در واقع تمامی حالات معادلات درجة اول و دوم را، به شرط مثبت بودن ضرایب، نشان میدهند. چنانچه معادلهای به صورتی جز یکی از این شش صورت داده شده باشد، آن را با یکی از دو عمل «جبر» یا «مقابله»، یا با هر دو عمل، به یکی از این شش صورت نرمال تبدیل میکنیم. مثلاً معادلة 6 = 4 + x 7 ـ 2 x از راه «جبر» (افزودن مقدار x 7 به دو سوی معادله) بهصورت 6 + x 7 = 4 + 2 x و از راه مقابله (حذف مقدار 4 از دو سوی معادله) به صورت2 + x 7 = 2 x درمیآید که نمونهای است از معادلة (6). همچنین هرگاه ضریب 2 x عددی مخالف یک باشد، با تقسیم طرفین معادله به این عدد، معادله به صورت نرمال درمیآید.از این معادلات، یکی (شمارة 1) از درجة اول و یکی دیگر (شمارة 3) قابل تبدیل به معادلة درجة اول است. راهحل این دو معادله بدیهی است (خوارزمی البته ریشة صفر را در مورد معادلة شمارة3 به حساب نمیآورد) و حل معادلة شمارة 2 به استخراج جذر یکعدد منجر میشود. در مورد سهمعادلة دیگر، خوارزمی دستور (الگوریتم) کلی حل معادله را به دست میدهد، منتهی در مورد هر معادله راه استفاده از این الگوریتم را با استفاده از یک مثال عددی که آن را «الگو» («باب») مینامد نشان میدهد. به عنوان مثال، دستور حل معادلة (4) به صورت زیر است: تعداد شیءها (ضریب x یا a ) را نصف میکنیم، حاصل را در خودش ضرب میکنیم، مقدار به دست آمده را با تعداد درهمها (b) جمع میکنیم، از مقداری که بهاین طریق بهدست میآید جذر میگیریم، و از حاصل، نصف تعداد شیءها را کم میکنیم. عدد بهدست آمده مقدار مجهول است ( رجوع کنید به همان، ص 19). به عبارتدیگر، a 2 1 - 2 a 4 1 b + ¡ x = راهحل خوارزمی، در واقع عبارت است از تبدیل کردن عبارت دست چپ معادله به یک مربع کامل از راه افزودن مقدار 2 a 4 1 به دو طرف معادله. به عبارت دیگر، الگوریتم خوارزمی را به این صورت میتوان نشان داد:+ ax = b 2 xذ2 a 4 1 = b + 2 a) 2 1 + ax + ( 2 xذ2 a 4 1 = b + 2 a) 2 1 (x +ذ2 a 4 1 b + ¡ a = 2 1 x +ذa 2 1 - 2 a 4 1 b+ ¡ x =اینمعادلههمواره یکجواب مثبتدارد. پیداستکه خوارزمی در این الگوریتم تلویحاً از اتحاد pq 2 + 2 + q 2 = p 2