دایره

معرف

از شکلهای هندسی
متن
دایره، از شکلهای هندسی. هزاران سال پیش از پژوهش دربارة دایره در قالب شکلی هندسی در ریاضی، در فنّاوری یعنی در طراحی و ساخت چرخ ارابه‌ها و در نقوش هنری دایره وجود داشته‌است. بنابراین، فرض این موضوع منطقی است که وصف و ترسیم این شکل هندسی (مجموعه نقاطی که فاصله‌شان از یک نقطه مشخص، مرکز، به یک اندازه است) برای کاربران و ابزارسازان بدون شناخت این ویژگی ممکن نبوده‌است. همین ویژگی دایره منشأ ابداع پرگار شد و به کمک این ابزار امکان ترسیم دوایر دقیق فراهم و جایگزین ترسیم دستی و نادقیق شد. ویژگی دیگر دایره که احتمالاً پیش از پژوهشهای نظری دربارة آن کشف شد و مدتها در قالب مسئله‌ای دشوار باقی ماند، مسئلة هم‌پیرامونی بود که عبارت است از اینکه در میان اشکال هندسی، با فرض برابر بودن محیط، دایرة بزرگ‌ترین مساحت ممکن را اشغال می‌کند. سه مسئلة دیگر دربارة دایره که در طول تاریخ هندسه‌دانان، مساحان و صنعتگران به آن پرداخته‌اند، عبارت است از: اندازة مساحت دایره با قطر یا محیط مفروض؛ محاسبة نسبت محیط به قطر دایره؛ و مسئلة تربیع دایره*، یعنی از حیث نظری و عملی (به کمک پرگار) ترسیم مربعی هم‌مساحت با دایره‌ای مفروض (← ادامة مقاله).با ثبت فعالیتهای علمی از جمله مسائل ریاضی در قالب نوشتار، بحث دایره و مسائلِ پیش‌گفته، باب پژوهشهای جدیدی را بین ریاضی‌دانان تمدنهای مختلف گشود. برخی از این پژوهشها مستقل از یکدیگر پیش رفتند، اما برخی دیگر تحتتأثیر چرخه دانش در قلمروهای فرهنگی مختلف رشد کردند و تأثیر پذیرفتند، هرچند نمی‌توان تعیین کرد که در چه زمان و بر چه اساس این چرخه‌های علمی رخ داده‌است.در پاپیروس رهیند ، به‌جا مانده از مصر باستان (هزاره دوم ق م)، روش محاسبه مساحت دایره براساس اندازة قطر آن آمده‌است. در مسئلة پنجاهم آن از روش تربیع تقریبی برای محاسبة مساحت دایره استفاده شده‌است؛ به این صورت که مساحت مربعی به اضلاع برابر قطر دایره (به‌عنوان واحد) جایگزین مساحت دایره می‌شود (← )پاپیروسهای ریاضی رهیند(، ج 2، لوحة 72). در یک کتیبة بابِلی، متعلق به 1800 تا 1650 پیش از میلاد، از رابطة میان محیط و مساحت دایره سخن به‌میان آمده و مساحت دایره برابر یک دوازدهم مربع محیط برآن فرض شده‌است ()متون ریاضی به خط میخی( ، ص 59).در قرن پنجم پیش از میلاد، آناکساگوراس (فیلسوف یونانی قرن پنجم ق م) ایدة ترسیم مربعی هم‌مساحت با دایره (تربیع دایره) را مطرح کرد. ناکامی وی در این امر موجب یأس ریاضی‌دانان آن عصر نشد، به‌ویژه آنکه بقراط خیوسی ، ریاضی‌دان همعصرش، موفق شد مثلث قائم‌الزاویة متساوی‌الساقینی هم‌مساحت با ماهک (شکل هلالی محصور به دو کمان دایره) رسم کند (هیث ، ج 1، ص 183ـ 200).از قرن سوم پیش از میلاد، با توسعه دانش ریاضی و با عمیق‌تر شدن پژوهشهای نظری و عملی در هندسه، نخستین‌بار ریاضی‌دانان یونانی تعریفی هندسی از دایره عرضه و به کمک برهانهای هندسی برخی ویژگیهای مرتبط با این شکل را وصف کردند. چنان‌که در اصول اقلیدس (ج 1، ص 183) در تعریف دایره آمده‌است: «دایره شکلی مسطح، حادث از یک خط است که همه خطهای راستی که از یکی از نقطه‌های درون این شکل (مرکز) بر آن فرود آیند باهم مساوی‌اند». این روش برای تعریف دایره برگرفته از این رویکرد فیلسوفان یونانی بود که در وصف یا ترسیمهای هندسی نباید از مفهوم حرکت بهره گرفت. اما به‌دلایل کاربردی، در دومین تعریف هندسی دایره از مفهوم حرکت نیز استفاده شد. هرون اسکندرانی (ریاضی‌دان یونانی قرن اول میلادی؛ ص 19) دایره را چنین تعریف کرده‌است : «دایره بر این اساس ترسیم می‌شود که یک خط راست، که همواره در یک صفحه است، یک سر آن ثابت بماند اما سر دیگر آن شروع به گردش کند و دوباره به نقطة آغاز بازگردد». براساس همین سنّت علمی، برای نخستین‌بار یک ویژگی مهم دایره (که امروزه به عدد مشهور است) شناخته شد. چنان‌که اقلیدس در قضیة دوم از کتاب دوم (براساس بیان امروزی) می‌گوید: «نسبت مساحتهای دو دایره برابر نسبت مربع قطرهای آنهاست» (ج3، ص371ـ378). بدیهی است که برای ریاضی‌دانان و صنعتگران، اندازه‌گیری یا محاسبة ضریب ثابتی که در محاسبة مساحت دایره به‌کار می‌رود (عدد )، ممکن بود، اما تا مدتها، محاسبان با روش غیرمستقیم، یعنی بدون انجام محاسبه‌ای صریح و روشن، از مقدار نادقیق یا مقادیر تقریبی آن استفاده می‌کردند. همچنین با فرض تشابه ظاهری دایره با یک مربع یا چندضلعی، مقادیر تقریبی گوناگونی برای به‌دست آوردند. چنین روشهایی در آثار ریاضی به‌جا مانده از تمدن چین (← مارزلف ، ص 277ـ282)، هند (برهمگوپته و باسکراکاریه ، ص 87 ـ96) و یونان (هیث، ج1،ص220ـ 222) قبل از سدة دوم پیش از میلاد مشاهده می‌شود.ارشمیدس (متوفی 212ق م) برای نخستین‌بار مقدار عدد  را در رساله مشهور )اندازه‌گیری دایره( محاسبه کرد. وی به کمک دو 96 ضلعی منتظم (با فرض محاط کردن یکی از آنها در دایره و محیط کردن دیگری بر دایره) موفق شد مقدار عددی  را در بازه زیر محدود سازد :7 1 + 3  ( ( 71 10 + 3(← ج 1، ص140ـ143؛ نیز ← هیث، ج 1، ص 222ـ 223).ریاضی‌دانان چینی به نامهای لیوهوئی (قرن سوم میلادی)و زوچونگ‌ژی (قرن چهارم میلادی) نیز به‌طور مستقل با استفاده از روش محاط کردن چندضلعی در دایره عدد  را محاسبه کردند (مارزلف، همانجا).دایره در سنّت ریاضی دورة اسلامی. در تمدن اسلامی، نخستین متون ریاضی دربارة دایره درواقع ترجمه‌های عربی تعدادی از قضایای اصول اقلیدس بوده که در آنها به ویژگیهای این شکل هندسی پرداخته شده‌است (به‌ویژه مقاله‌های سوم و چهارم و دوازدهم اصول؛ برای نمونه ← اقلیدس، ج 2، ص 1ـ111). همچنین آثاری چون رساله پیش‌گفتة ارشمیدس و مجسطی بطلمیوس ترجمه شدند. بطلمیوس در مباحث مختلف در مجسطی از ویژگیهای دایره در بحث محاسبه وترها (← ص 48ـ60) و تعیین اندازه افلاک سماوی (ص 444ـ630) استفاده کرده‌است.نخستین ریاضی‌دانان دورة اسلامی، هم‌زمان با گردآوری و ترجمة متون ریاضی هندی و یونانی، به حل مسائل مختلفی که در جامعة اسلامی کاربرد داشت، نیز علاقه‌مند شدند. در این چهارچوب، آنها همة روشهای اندازه‌گیری مساحت و تقطیع اشکال هندسی را که پیش از اسلام در مناطقی چون ایران، بین‌النهرین و دیگر نواحی فتح شده به‌دست مسلمانان مثل روم شرقی به‌کار می‌رفت، گردآوری کردند. بخش مهمی از این روشهای هندسی به مباحثی دربارة دایره یا برخی عناصر مرتبط با آن همچون کمانها، وترها، حلقه و ماهک اختصاص داشت. این مباحث به شکل‌گیری حوزه‌ای در علوم ریاضی به نام علم‌المساحة منجر شد. رساله جزو فی مساحة‌الارضین از ابوکامل، ریاضی‌دان مصری (متوفی 318؛ ← دانش‌پژوه و علمی انواری، ج 1، ص 13)، و کتابٌ فی‌المساحة از احمدبن نصر (قرن چهارم) در غرب قلمرو اسلامی و اندلس کهن‌ترین رساله‌های شناخته‌شده دراین‌باره به‌شمار می‌آیند (← روزنفلد و احسان‌اوغلو ، ص 72).در سده‌های بعد، دهها رساله دیگر در این ‌باره به عربی نوشته شد. در قرن پنجم و ششم، آثاری هم به فارسی دربارة علم حساب پدید آمد که معمولاً بخشهایی از آنها به محاسبة مساحت دایره و حجم و مساحت شکلهای فضایی مرتبط با دایره چون کره و استوانه اختصاص داشت، از جمله مفتاح‌المعاملات محمدبن ایوب طبری (ریاضی‌دان و منجم قرن پنجم؛ برای نمونه ← ص 159ـ161، 208ـ218) و لُبُّ الحساب علی‌بن یوسف محاسب (قرن ششم؛ ص 199ـ 204، 236ـ 256). یکی از آثار مهم در این ‌باره کتاب مایحتاج الیه الصانع من اعمال الهندسة از ابوالوفا بوزجانی* (ریاضی‌دان و منجم قرن چهارم) است. وی در فصلی از کتاب (ص 76ـ77) به موضوع محاط کردن چندضلعیهای منتظم در دایره یا محیط کردن آنها بر دایره پرداخته‌است. بوزجانی برای محاط کردن هفت‌ضلعی منتظم در یک دایره از روشی تقریبی بهره برده و برای ترسیم نُه ضلعی روشی عرضه کرده که به مسئلة مشهور تثلیثِ زاویه* منجر شده‌است. در دورة ‌اسلامی، محاط کردن هفت‌ضلعی منتظم در دایره، به تسبیع دایره معروف بود که ریاضی‌دانانِ بنام قرن چهارم و پنجم چون ابوالجود، سجزی، ابن‌سهل، صاغانی، ابوسهل کوهی و ابن‌هیثم به آن پرداخته‌اند (← شکل 2) و راه‌حلهایی براساس مقاطع مخروطی (بیضی، سهمی و هذلولی) برای حل آن عرضه کردند (نیز ← انبوبا ، ص 73ـ105؛ هوخندایک، ص 197ـ330). احتمالاً پیشینة این مسئله به ریاضیات یونان و رساله‌ای از ارشمیدس در این‌باره بازمی‌گردد (← ابن‌ندیم، ص326). برای حل مسئلة ترسیم نُه ضلعی، ابوریحان بیرونی از روش جبری استفاده‌کرده که به‌معادله‌ای درجة سوم منتهی شده و آن را با روشی تقریبی حل کرده‌است (یوشکیویچ ، ص 93؛ نیز ← ابوریحان بیرونی، ج 1، ص287ـ291).ترسیم دایره‌های مماس بر هم از دیگر مباحث ریاضیات دورة اسلامی بود، چنان‌که مسائلی در این ‌باره در آثار ریاضی‌دانانی چون ابراهیم‌بن سِنان* (← سزگین ، ج 5،ص 294) و ابن‌هیثم* (1422، ص 356ـ391) آمده‌است. ابن‌هیثم (همانجا) در رسالة فی‌التحلیل و الترکیب به مسئلة دشوار ترسیم یک دایرة مماس بر سه دایره مفروض می‌پردازد.در آموزش ریاضی در دورة اسلامی، باید از تحریرهای نصیرالدین طوسی یاد کرد که در آن میان، وی در تحریر اصول اقلیدس (ص 4ـ100) به مبحث دایره و اشکال مرتبط با آن پرداخته‌است. افزون‌بر این، وی در تحریرهایش رسائلی را گنجانده‌است، از جمله کتاب الاُکَر لثاوذوسیوس (ص 112ـ 130)، تحریر کتاب الکرة‌المتحرکة لاطولوقوس (ص 132ـ 135)، تحریر کتاب مانالاوس فی الاشکال الکُرِیّة (ص 136ـ 185)، و سه رساله تحریر مأخوذات (ص 244ـ 249)، کتاب الکرة و الاسطوانة (ص 278ـ323) و فی تکسیر الدائرة (ص 323ـ326) از ارشمیدس که در همگی آنها به‌صورت خاص به مبحث دایره و کره پرداخته شده‌است. در بین این ترجمه‌ها و تحریرها، ترجمة آثار نجوم هندسی یونانی نیز اهمیت یافت؛ به‌ویژه اُکَر منلائوس (ریاضی‌دان و منجم یونانی قرن اول میلادی) که در آن دوایر و وترهای متعددی بر روی کره ترسیم شده‌اند (← ابونصر عراق، ص 1ـ110).منجمان دورة اسلامی، افزون بر آثار یونانی، از طریق آثار نجومی هندی نیز با دایره‌ها و وترها آشنا شدند. همة اینها منشأ تحول و توسعة مبانی ضروری مثلثات کروی در دورة اسلامی شد. مهم‌ترین دستاورد در این زمینه از غیاث‌الدین جمشید کاشانی* (متوفی ﺣ 832) است که موفق شد سینوس یک درجه را تا هفده رقم اعشاری دقیق به‌دست آورد (← درجه*).دستاوردهای علمی مسلمانان، نخست در بغداد و سپس در دیگر قطبهای علمی قلمرو اسلامی مانند ایران و اندلس پیگیری شد. در زمینة اندازه‌گیری، کهن‌ترین پژوهش دورة اسلامی دربارة مساحت دایره را بنوموسی* (سه برادر از برجسته‌ترین دانشمندان و مهندسان ایرانی در قرن سوم) انجام دادند. آنان در کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریة، روش ارشمیدس در اندازه‌گیری مساحت دایره را شرح داده‌اند، اما ــ برخلاف وی که اثبات کرد مساحت دایره با مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه برابر است ــ مساحت دایره را از طریق تحلیل دو کمیّتِ نصف قطر (شعاع) و نصف محیط دایره به‌دست آورده‌اند (← ص 58ـ71)، که نوآوری برای آن دوره به‌شمار می‌آید.هندسه‌دانان بعدی در دورة اسلامی از طریق همین رساله به روش بنوموسی در محاسبه مساحت دایره ارجاع داده‌اند، چنان‌که نصیرالدین طوسی آن را در قالب یکی از رسائل تحریرهای خود جای داده‌است (← ص 256ـ263). رسالة بنوموسی به اندلس نیز راه یافت و در قرن ششم/ دوازدهم گراردوس کرمونایی آن را باعنوان )رسالة سه برادر( به لاتین ترجمه کرد (اشتاین اشنایدر ، ص 21).بنوموسی در این رساله به پیروی از اقلیدس،  را عددی ثابت معرفی و با روشی مشابه روش ارشمیدس مقدار تقریبی آن را محاسبه کرده‌اند (← نصیرالدین طوسی، ص 5ـ9). پس از آنها دیگر ریاضی‌دانان و منجمان مسلمان از جمله ابوریحان بیرونی (ج 1، ص 303ـ304) نیز برای محاسبة دقیق‌تر عدد  کوششهایی کردند. اما مهم‌ترین دستاورد در این زمینه از غیاث‌الدین جمشید کاشانی است. وی در الرسالة‌المحیطیة (ص 338ـ424) مقدار بسیار دقیقی برای ، تا هفده رقم اعشار دقیق، به‌دست آورد. عملاً چنین دقتی در محاسبة  تا نیمه دوم قرن دهم/ شانزدهم ــ که لودلف ون کولن ، ریاضی‌دان آلمانی (متوفی 1019/ 1610)، آن را با دقتی بیش از این محاسبه کردــ بی‌رقیب بود (یوشکیویچ، ص 150ـ157).مسئلة دیگر، بحثِ هم‌پیرامونی بود که در دورة اسلامی به آن توجه شد. این پژوهشها را در پی بسط سنّت هندسی در یونان باستان، ریاضی‌دانانی چون زنودوروس (قرن دوم پیش از میلاد) و پاپوس اسکندرانی* (قرن چهارم میلادی) آغاز کردند (هیث، ج 2، ص 206ـ213). در قرن سوم، کِندی* در رسالة فی اَنّ الکرة اعظم الاشکال الجرمیة و الدائرة اعظم من جمیع الاشکال البسیطة به مسئلة هم‌پیرامونی پرداخت (← سزگین، ج 5، ص 258). پس از وی، ابوجعفر خازِن* (ریاضی‌دان و منجم قرن چهارم) در فصلی از اثرش باعنوان تفسیر المجسطی (گ 47 پ ـ 68 پ) در این‌باره بحث و ثابت کرده‌است که بین اشکال فضایی با سطح برابر، کره بزرگ‌ترین حجم را دارد. علی سُمَیساطی (ریاضی‌دان سدة چهارم؛ ص 831 ـ833) اثباتی برای بحث هم‌پیرامونی دایره و چندضلعیها عرضه کرده‌است. تقریباً در همین عصر، ابن‌هیثم در رساله فی أنّ الکرةَ اَوسعُ الاشکال المجسَّمة (ص 384ـ459) به موضع هم‌پیرامونی اشکال هندسی و جایگاه کره و دایره در این بحث پرداخته‌است.تربیع دایره آخرین مسئلة مطرح‌شده در سنّت ریاضیات یونان بود و موضوع پژوهشهای بعدی قرار گرفت. براساس دانسته‌های موجود، در دورة اسلامی تا پیش از ابن‌هیثم هیچ ریاضی‌دانی به این مسئله نپرداخته‌است. در واقع ابن‌هیثم در دو رسالة فی‌الهلالیات (ص70ـ81) و فی الاشکال الهلالیة (ص 102ـ175) به بسط و تعمیم نتایج بقراط خیوسی دربارة اشکال هلالی پرداخته‌است. وی در رسالة فی تربیع الدائرة بیش از آنکه در پی ترسیم هندسی مربعی با ویژگی یاد شده باشد، به بررسی این سؤال پرداخته‌است که اساساً امکان وجود چنین مربعی هست یا نه (← ص 82 ـ101؛ نیز ← تربیع دایره*).منابع : ابن‌ندیم (تهران)؛ ابن‌هیثم، فی‌التحلیل و الترکیب، درLes mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siécle, [ed. and tr.] Roshdi Rashed, vol.4, London: Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 1422/ 2002;همو، فی‌الهلالیات،in ibid, vol.2, 1993;همو، فی ان الکرة اوسع الاشکال المجسمة التی احاطاتها متساویة، و ان الدائرة اوسع الاشکال المسطّحة التی احاطاتها متساویة،in ibid;همو، فی تربیع الدائرة،in ibid;همو، فی الاشکال الهلالیة،in ibid;ابوجعفر خازن، تفسیر المجسطی، نسخة خطی کتابخانه ملی فرانسه، ش 4821؛ ابوریحان بیرونی، کتاب القانون المسعودی، حیدرآباد، دکن 1373ـ 1375/ 1954ـ1956؛ ابونصر عراق، اصلاح کتاب مانلاوس فی الاشکال الکریة، مع ترجمة المانیة و دراسة لماکس کراوزه، فرانکفورت 1418/ 1998؛ بنوموسی، کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریة لبنی موسی محمد و الحسن و احمد، درLes mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siācle, ibid, vol.1, 1416/ 1996;محمدبن محمد بوزجانی، مایحتاج‌الیه الصانع من علم‌الهندسة، چاپ صالح احمد علی، بغداد 1979؛ محمدتقی دانش‌پژوه و بهاءالدین علمی‌انواری، فهرست کتابهای خطی کتابخانه مجلس سنا، ج 1، تهران ]بی‌تا.[؛ سمیساطی، مقالة فی ان سطح کل دائرة اوسع من کل سطح مستقیم الاضلاع متساویها متساوی الزوایا مساویة احاطته لاحاطتها،in ibid;محمدبن ایوب طبری، مفتاح المعاملات، چاپ محمدامین ریاحی، ]تهران[ 1349ش؛ علی‌بن یوسف محاسب، لب‌الحساب، چاپ عکسی از نسخه خطی کتابخانه مرکزی دانشگاه تهران، تهران 1368ش؛ غیاث‌الدین جمشید کاشانی، مفتاح‌الحساب، و الرسالة‌المحیطیة، ]همراه با ترجمة روسی از[ بوریس روزنفلد، مسکو 1956؛ محمدبن محمد نصیرالدین طوسی، مجموعة رسائل ریاضی و نجومی خواجه‌نصیرالدین طوسی، چاپ فرید قاسملو، تهران 1389ش؛Adel Anbouba, "L'algébre arabe aux IXe et Xe siécles: aperçu général", Journal for the history of Arabic science, vol.2, no.1 (May 1978); Archimedes, Archiméde, texte ; établi et traduit par Charles Mugler, Paris 1970- Brahmagupta and Bhāskarācārya, Algebra with arithmetic and mensuration: from the Sanskrit of Thomas Colebrooke, Henry tr. Bháscara, and Brahmegupta London 1817; Euclid, The thirteen books of Euclid's Elements, translated from the text of Heiberg with introduction and commentary by Thomas L. Heath, 2nd ed. revised with additions, New York 1956; Thomas Little Heath, A history of Greek mathematics, New York 1981; Heron of Alexandria, Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia, vol.4: Définitions, geometrica, ed. John Ludvig Heiberg, Leipzig 1912; Jan P. Hogendijk, "Greek Arabic constructions of the regular heptagon", Archive for history of exact sciences, vol.30, no.3-4 (1984); Jean-Claud Martzloff, A history of Chinese mathematics, [tr. Stephen S. Wilson], Berlin 1997; Mathematical cuneiform texts, ed. Otto Neugebauer and A. Sachs, New Haven: The American Oriental Society, 1945; Claudius Ptolemy, Ptolemy's Almagest, translated and annotated by G. J. Toomer, Princeton, N. J. 1998; The Rhind mathematical papyrus, [ed.] Arnold Buffum Chace et al., Oberlin:Mathematical Association of America, 1927-1929; Boris Abramovich Rozenfeld and Ekmeleddin İhsanoğlu, Mathematicians, astronomers, and other scholars of Islamic civilization and their works (7th-19thc.), İstanbul 2003; Fuat Sezgin, Geschichte des arabischen Schrifttums, Leiden 1967- ; Moritz Steinschneider, Die europäischen Übersetzungen aus dem Arabischen bis Mitte des 17.Jahrhunderts, Graz 1956; Adolf P. Youschkevitch, Les mathématiques arabes: VIIIe- XVe siècles, tr. M. Cazenave and K. Jaouiche, Paris 1976.
نظر شما
مولفان
احمد جبار ,
گروه
رده موضوعی
جلد17
تاریخ93
وضعیت چاپ
  • چاپ شده