دایره
معرف
از شکلهاى هندسى
متن
دایره، از شکلهاى هندسى. هزاران سال پیش از پژوهش دربارة دایره در قالب شکلى هندسى در ریاضى، در فنّاورى یعنى در طراحى و ساخت چرخ ارابه‌ها و در نقوش هنرى دایره وجود داشته‌است. بنابراین، فرض این موضوع منطقى است که وصف و ترسیم این شکل هندسى (مجموعه نقاطى که فاصله‌شان از یک نقطه مشخص، مرکز، به یک اندازه است) براى کاربران و ابزارسازان بدون شناخت این ویژگى ممکن نبوده‌است. همین ویژگى دایره منشأ ابداع پرگار شد و به کمک این ابزار امکان ترسیم دوایر دقیق فراهم و جایگزین ترسیم دستى و نادقیق شد. ویژگى دیگر دایره که احتمالاً پیش از پژوهشهاى نظرى دربارة آن کشف شد و مدتها در قالب مسئله‌اى دشوار باقى ماند، مسئلة هم‌پیرامونى بود که عبارت است از اینکه در میان اشکال هندسى، با فرض برابر بودن محیط، دایرة بزرگ‌ترین مساحت ممکن را اشغال مى‌کند. سه مسئلة دیگر دربارة دایره که در طول تاریخ هندسه‌دانان، مساحان و صنعتگران به آن پرداخته‌اند، عبارت است از: اندازة مساحت دایره با قطر یا محیط مفروض؛ محاسبة نسبت محیط به قطر دایره؛ و مسئلة تربیع دایره*، یعنى از حیث نظرى و عملى (به کمک پرگار) ترسیم مربعى هم‌مساحت با دایره‌اى مفروض (← ادامة مقاله).با ثبت فعالیتهاى علمى از جمله مسائل ریاضى در قالب نوشتار، بحث دایره و مسائلِ پیش‌گفته، باب پژوهشهاى جدیدى را بین ریاضى‌دانان تمدنهاى مختلف گشود. برخى از این پژوهشها مستقل از یکدیگر پیش رفتند، اما برخى دیگر تحتتأثیر چرخه دانش در قلمروهاى فرهنگى مختلف رشد کردند و تأثیر پذیرفتند، هرچند نمى‌توان تعیین کرد که در چه زمان و بر چه اساس این چرخه‌هاى علمى رخ داده‌است.در پاپیروس رهیند ، به‌جا مانده از مصر باستان (هزاره دوم ق م)، روش محاسبه مساحت دایره براساس اندازة قطر آن آمده‌است. در مسئلة پنجاهم آن از روش تربیع تقریبى براى محاسبة مساحت دایره استفاده شده‌است؛ به این صورت که مساحت مربعى به اضلاع برابر قطر دایره (به‌عنوان واحد) جایگزین مساحت دایره مى‌شود (← >پاپیروسهاى ریاضى رهیند<، ج 2، لوحة 72). در یک کتیبة بابِلى، متعلق به 1800 تا 1650 پیش از میلاد، از رابطة میان محیط و مساحت دایره سخن به‌میان آمده و مساحت دایره برابر یک دوازدهم مربع محیط برآن فرض شده‌است (>متون ریاضى به خط میخى< ، ص 59).در قرن پنجم پیش از میلاد، آناکساگوراس (فیلسوف یونانى قرن پنجم ق م) ایدة ترسیم مربعى هم‌مساحت با دایره (تربیع دایره) را مطرح کرد. ناکامى وى در این امر موجب یأس ریاضى‌دانان آن عصر نشد، به‌ویژه آنکه بقراط خیوسى ، ریاضى‌دان همعصرش، موفق شد مثلث قائم‌الزاویة متساوى‌الساقینى هم‌مساحت با ماهک (شکل هلالى محصور به دو کمان دایره) رسم کند (هیث ، ج 1، ص 183ـ 200).از قرن سوم پیش از میلاد، با توسعه دانش ریاضى و با عمیق‌تر شدن پژوهشهاى نظرى و عملى در هندسه، نخستین‌بار ریاضى‌دانان یونانى تعریفى هندسى از دایره عرضه و به کمک برهانهاى هندسى برخى ویژگیهاى مرتبط با این شکل را وصف کردند. چنان‌که در اصول اقلیدس (ج 1، ص 183) در تعریف دایره آمده‌است: «دایره شکلى مسطح، حادث از یک خط است که همه خطهاى راستى که از یکى از نقطه‌هاى درون این شکل (مرکز) بر آن فرود آیند باهم مساوى‌اند». این روش براى تعریف دایره برگرفته از این رویکرد فیلسوفان یونانى بود که در وصف یا ترسیمهاى هندسى نباید از مفهوم حرکت بهره گرفت. اما به‌دلایل کاربردى، در دومین تعریف هندسى دایره از مفهوم حرکت نیز استفاده شد. هرون اسکندرانى (ریاضى‌دان یونانى قرن اول میلادى؛ ص 19) دایره را چنین تعریف کرده‌است : «دایره بر این اساس ترسیم مى‌شود که یک خط راست، که همواره در یک صفحه است، یک سر آن ثابت بماند اما سر دیگر آن شروع به گردش کند و دوباره به نقطة آغاز بازگردد». براساس همین سنّت علمى، براى نخستین‌بار یک ویژگى مهم دایره (که امروزه به عدد مشهور است) شناخته شد. چنان‌که اقلیدس در قضیة دوم از کتاب دوم (براساس بیان امروزى) مى‌گوید: «نسبت مساحتهاى دو دایره برابر نسبت مربع قطرهاى آنهاست» (ج3، ص371ـ378). بدیهى است که براى ریاضى‌دانان و صنعتگران، اندازه‌گیرى یا محاسبة ضریب ثابتى که در محاسبة مساحت دایره به‌کار مى‌رود (عدد )، ممکن بود، اما تا مدتها، محاسبان با روش غیرمستقیم، یعنى بدون انجام محاسبه‌اى صریح و روشن، از مقدار نادقیق یا مقادیر تقریبى آن استفاده مى‌کردند. همچنین با فرض تشابه ظاهرى دایره با یک مربع یا چندضلعى، مقادیر تقریبى گوناگونى براى به‌دست آوردند. چنین روشهایى در آثار ریاضى به‌جا مانده از تمدن چین (← مارزلف ، ص 277ـ282)، هند (برهمگوپته و باسکراکاریه ، ص 87 ـ96) و یونان (هیث، ج1،ص220ـ 222) قبل از سدة دوم پیش از میلاد مشاهده مى‌شود.ارشمیدس (متوفى 212ق م) براى نخستین‌بار مقدار عدد  را در رساله مشهور >اندازه‌گیرى دایره< محاسبه کرد. وى به کمک دو 96 ضلعى منتظم (با فرض محاط کردن یکى از آنها در دایره و محیط کردن دیگرى بر دایره) موفق شد مقدار عددى  را در بازه زیر محدود سازد :7 1 + 3  < < 71 10 + 3(← ج 1، ص140ـ143؛ نیز ← هیث، ج 1، ص 222ـ 223).ریاضى‌دانان چینى به نامهاى لیوهوئى (قرن سوم میلادى)و زوچونگ‌ژى (قرن چهارم میلادى) نیز به‌طور مستقل با استفاده از روش محاط کردن چندضلعى در دایره عدد  را محاسبه کردند (مارزلف، همانجا).دایره در سنّت ریاضى دورة اسلامى. در تمدن اسلامى، نخستین متون ریاضى دربارة دایره درواقع ترجمه‌هاى عربى تعدادى از قضایاى اصول اقلیدس بوده که در آنها به ویژگیهاى این شکل هندسى پرداخته شده‌است (به‌ویژه مقاله‌هاى سوم و چهارم و دوازدهم اصول؛ براى نمونه ← اقلیدس، ج 2، ص 1ـ111). همچنین آثارى چون رساله پیش‌گفتة ارشمیدس و مجسطى بطلمیوس ترجمه شدند. بطلمیوس در مباحث مختلف در مجسطى از ویژگیهاى دایره در بحث محاسبه وترها (← ص 48ـ60) و تعیین اندازه افلاک سماوى (ص 444ـ630) استفاده کرده‌است.نخستین ریاضى‌دانان دورة اسلامى، هم‌زمان با گردآورى و ترجمة متون ریاضى هندى و یونانى، به حل مسائل مختلفى که در جامعة اسلامى کاربرد داشت، نیز علاقه‌مند شدند. در این چهارچوب، آنها همة روشهاى اندازه‌گیرى مساحت و تقطیع اشکال هندسى را که پیش از اسلام در مناطقى چون ایران، بین‌النهرین و دیگر نواحى فتح شده به‌دست مسلمانان مثل روم شرقى به‌کار مى‌رفت، گردآورى کردند. بخش مهمى از این روشهاى هندسى به مباحثى دربارة دایره یا برخى عناصر مرتبط با آن همچون کمانها، وترها، حلقه و ماهک اختصاص داشت. این مباحث به شکل‌گیرى حوزه‌اى در علوم ریاضى به نام علم‌المساحة منجر شد. رساله جزو فى مساحة‌الارضین از ابوکامل، ریاضى‌دان مصرى (متوفى 318؛ ← دانش‌پژوه و علمى انوارى، ج 1، ص 13)، و کتابٌ فى‌المساحة از احمدبن نصر (قرن چهارم) در غرب قلمرو اسلامى و اندلس کهن‌ترین رساله‌هاى شناخته‌شده دراین‌باره به‌شمار مى‌آیند (← روزنفلد و احسان‌اوغلو ، ص 72).در سده‌هاى بعد، دهها رساله دیگر در این ‌باره به عربى نوشته شد. در قرن پنجم و ششم، آثارى هم به فارسى دربارة علم حساب پدید آمد که معمولاً بخشهایى از آنها به محاسبة مساحت دایره و حجم و مساحت شکلهاى فضایى مرتبط با دایره چون کره و استوانه اختصاص داشت، از جمله مفتاح‌المعاملات محمدبن ایوب طبرى (ریاضى‌دان و منجم قرن پنجم؛ براى نمونه ← ص 159ـ161، 208ـ218) و لُبُّ الحساب على‌بن یوسف محاسب (قرن ششم؛ ص 199ـ 204، 236ـ 256). یکى از آثار مهم در این ‌باره کتاب مایحتاج الیه الصانع من اعمال الهندسة از ابوالوفا بوزجانى* (ریاضى‌دان و منجم قرن چهارم) است. وى در فصلى از کتاب (ص 76ـ77) به موضوع محاط کردن چندضلعیهاى منتظم در دایره یا محیط کردن آنها بر دایره پرداخته‌است. بوزجانى براى محاط کردن هفت‌ضلعى منتظم در یک دایره از روشى تقریبى بهره برده و براى ترسیم نُه ضلعى روشى عرضه کرده که به مسئلة مشهور تثلیثِ زاویه* منجر شده‌است. در دورة ‌اسلامى، محاط کردن هفت‌ضلعى منتظم در دایره، به تسبیع دایره معروف بود که ریاضى‌دانانِ بنام قرن چهارم و پنجم چون ابوالجود، سجزى، ابن‌سهل، صاغانى، ابوسهل کوهى و ابن‌هیثم به آن پرداخته‌اند (← شکل 2) و راه‌حلهایى براساس مقاطع مخروطى (بیضى، سهمى و هذلولى) براى حل آن عرضه کردند (نیز ← انبوبا ، ص 73ـ105؛ هوخندایک، ص 197ـ330). احتمالاً پیشینة این مسئله به ریاضیات یونان و رساله‌اى از ارشمیدس در این‌باره بازمى‌گردد (← ابن‌ندیم، ص326). براى حل مسئلة ترسیم نُه ضلعى، ابوریحان بیرونى از روش جبرى استفاده‌کرده که به‌معادله‌اى درجة سوم منتهى شده و آن را با روشى تقریبى حل کرده‌است (یوشکیویچ ، ص 93؛ نیز ← ابوریحان بیرونى، ج 1، ص287ـ291).ترسیم دایره‌هاى مماس بر هم از دیگر مباحث ریاضیات دورة اسلامى بود، چنان‌که مسائلى در این ‌باره در آثار ریاضى‌دانانى چون ابراهیم‌بن سِنان* (← سزگین ، ج 5،ص 294) و ابن‌هیثم* (1422، ص 356ـ391) آمده‌است. ابن‌هیثم (همانجا) در رسالة فى‌التحلیل و الترکیب به مسئلة دشوار ترسیم یک دایرة مماس بر سه دایره مفروض مى‌پردازد.در آموزش ریاضى در دورة اسلامى، باید از تحریرهاى نصیرالدین طوسى یاد کرد که در آن میان، وى در تحریر اصول اقلیدس (ص 4ـ100) به مبحث دایره و اشکال مرتبط با آن پرداخته‌است. افزون‌بر این، وى در تحریرهایش رسائلى را گنجانده‌است، از جمله کتاب الاُکَر لثاوذوسیوس (ص 112ـ 130)، تحریر کتاب الکرة‌المتحرکة لاطولوقوس (ص 132ـ 135)، تحریر کتاب مانالاوس فى الاشکال الکُرِیّة (ص 136ـ 185)، و سه رساله تحریر مأخوذات (ص 244ـ 249)، کتاب الکرة و الاسطوانة (ص 278ـ323) و فى تکسیر الدائرة (ص 323ـ326) از ارشمیدس که در همگى آنها به‌صورت خاص به مبحث دایره و کره پرداخته شده‌است. در بین این ترجمه‌ها و تحریرها، ترجمة آثار نجوم هندسى یونانى نیز اهمیت یافت؛ به‌ویژه اُکَر منلائوس (ریاضى‌دان و منجم یونانى قرن اول میلادى) که در آن دوایر و وترهاى متعددى بر روى کره ترسیم شده‌اند (← ابونصر عراق، ص 1ـ110).منجمان دورة اسلامى، افزون بر آثار یونانى، از طریق آثار نجومى هندى نیز با دایره‌ها و وترها آشنا شدند. همة اینها منشأ تحول و توسعة مبانى ضرورى مثلثات کروى در دورة اسلامى شد. مهم‌ترین دستاورد در این زمینه از غیاث‌الدین جمشید کاشانى* (متوفى ﺣ 832) است که موفق شد سینوس یک درجه را تا هفده رقم اعشارى دقیق به‌دست آورد (← درجه*).دستاوردهاى علمى مسلمانان، نخست در بغداد و سپس در دیگر قطبهاى علمى قلمرو اسلامى مانند ایران و اندلس پیگیرى شد. در زمینة اندازه‌گیرى، کهن‌ترین پژوهش دورة اسلامى دربارة مساحت دایره را بنوموسى* (سه برادر از برجسته‌ترین دانشمندان و مهندسان ایرانى در قرن سوم) انجام دادند. آنان در کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریة، روش ارشمیدس در اندازه‌گیرى مساحت دایره را شرح داده‌اند، اما ــ برخلاف وى که اثبات کرد مساحت دایره با مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه برابر است ــ مساحت دایره را از طریق تحلیل دو کمیّتِ نصف قطر (شعاع) و نصف محیط دایره به‌دست آورده‌اند (← ص 58ـ71)، که نوآورى براى آن دوره به‌شمار مى‌آید.هندسه‌دانان بعدى در دورة اسلامى از طریق همین رساله به روش بنوموسى در محاسبه مساحت دایره ارجاع داده‌اند، چنان‌که نصیرالدین طوسى آن را در قالب یکى از رسائل تحریرهاى خود جاى داده‌است (← ص 256ـ263). رسالة بنوموسى به اندلس نیز راه یافت و در قرن ششم/ دوازدهم گراردوس کرمونایى آن را باعنوان >رسالة سه برادر< به لاتین ترجمه کرد (اشتاین اشنایدر ، ص 21).بنوموسى در این رساله به پیروى از اقلیدس،  را عددى ثابت معرفى و با روشى مشابه روش ارشمیدس مقدار تقریبى آن را محاسبه کرده‌اند (← نصیرالدین طوسى، ص 5ـ9). پس از آنها دیگر ریاضى‌دانان و منجمان مسلمان از جمله ابوریحان بیرونى (ج 1، ص 303ـ304) نیز براى محاسبة دقیق‌تر عدد  کوششهایى کردند. اما مهم‌ترین دستاورد در این زمینه از غیاث‌الدین جمشید کاشانى است. وى در الرسالة‌المحیطیة (ص 338ـ424) مقدار بسیار دقیقى براى ، تا هفده رقم اعشار دقیق، به‌دست آورد. عملاً چنین دقتى در محاسبة  تا نیمه دوم قرن دهم/ شانزدهم ــ که لودلف ون کولن ، ریاضى‌دان آلمانى (متوفى 1019/ 1610)، آن را با دقتى بیش از این محاسبه کردــ بى‌رقیب بود (یوشکیویچ، ص 150ـ157).مسئلة دیگر، بحثِ هم‌پیرامونى بود که در دورة اسلامى به آن توجه شد. این پژوهشها را در پى بسط سنّت هندسى در یونان باستان، ریاضى‌دانانى چون زنودوروس (قرن دوم پیش از میلاد) و پاپوس اسکندرانى* (قرن چهارم میلادى) آغاز کردند (هیث، ج 2، ص 206ـ213). در قرن سوم، کِندى* در رسالة فى اَنّ الکرة اعظم الاشکال الجرمیة و الدائرة اعظم من جمیع الاشکال البسیطة به مسئلة هم‌پیرامونى پرداخت (← سزگین، ج 5، ص 258). پس از وى، ابوجعفر خازِن* (ریاضى‌دان و منجم قرن چهارم) در فصلى از اثرش باعنوان تفسیر المجسطى (گ 47 پ ـ 68 پ) در این‌باره بحث و ثابت کرده‌است که بین اشکال فضایى با سطح برابر، کره بزرگ‌ترین حجم را دارد. على سُمَیساطى (ریاضى‌دان سدة چهارم؛ ص 831 ـ833) اثباتى براى بحث هم‌پیرامونى دایره و چندضلعیها عرضه کرده‌است. تقریباً در همین عصر، ابن‌هیثم در رساله فى أنّ الکرةَ اَوسعُ الاشکال المجسَّمة (ص 384ـ459) به موضع هم‌پیرامونى اشکال هندسى و جایگاه کره و دایره در این بحث پرداخته‌است.تربیع دایره آخرین مسئلة مطرح‌شده در سنّت ریاضیات یونان بود و موضوع پژوهشهاى بعدى قرار گرفت. براساس دانسته‌هاى موجود، در دورة اسلامى تا پیش از ابن‌هیثم هیچ ریاضى‌دانى به این مسئله نپرداخته‌است. در واقع ابن‌هیثم در دو رسالة فى‌الهلالیات (ص70ـ81) و فى الاشکال الهلالیة (ص 102ـ175) به بسط و تعمیم نتایج بقراط خیوسى دربارة اشکال هلالى پرداخته‌است. وى در رسالة فى تربیع الدائرة بیش از آنکه در پى ترسیم هندسى مربعى با ویژگى یاد شده باشد، به بررسى این سؤال پرداخته‌است که اساساً امکان وجود چنین مربعى هست یا نه (← ص 82 ـ101؛ نیز ← تربیع دایره*).منابع : ابن‌ندیم (تهران)؛ ابن‌هیثم، فى‌التحلیل و الترکیب، درLes mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siécle, [ed. and tr.] Roshdi Rashed, vol.4, London: Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 1422/ 2002;همو، فى‌الهلالیات،in ibid, vol.2, 1993;همو، فى ان الکرة اوسع الاشکال المجسمة التى احاطاتها متساویة، و ان الدائرة اوسع الاشکال المسطّحة التى احاطاتها متساویة،in ibid;همو، فى تربیع الدائرة،in ibid;همو، فى الاشکال الهلالیة،in ibid;ابوجعفر خازن، تفسیر المجسطى، نسخة خطى کتابخانه ملى فرانسه، ش 4821؛ ابوریحان بیرونى، کتاب القانون المسعودى، حیدرآباد، دکن 1373ـ 1375/ 1954ـ1956؛ ابونصر عراق، اصلاح کتاب مانلاوس فى الاشکال الکریة، مع ترجمة المانیة و دراسة لماکس کراوزه، فرانکفورت 1418/ 1998؛ بنوموسى، کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریة لبنى موسى محمد و الحسن و احمد، درLes mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siācle, ibid, vol.1, 1416/ 1996;محمدبن محمد بوزجانى، مایحتاج‌الیه الصانع من علم‌الهندسة، چاپ صالح احمد على، بغداد 1979؛ محمدتقى دانش‌پژوه و بهاءالدین علمى‌انوارى، فهرست کتابهاى خطى کتابخانه مجلس سنا، ج 1، تهران ]بى‌تا.[؛ سمیساطى، مقالة فى ان سطح کل دائرة اوسع من کل سطح مستقیم الاضلاع متساویها متساوى الزوایا مساویة احاطته لاحاطتها،in ibid;محمدبن ایوب طبرى، مفتاح المعاملات، چاپ محمدامین ریاحى، ]تهران[ 1349ش؛ على‌بن یوسف محاسب، لب‌الحساب، چاپ عکسى از نسخه خطى کتابخانه مرکزى دانشگاه تهران، تهران 1368ش؛ غیاث‌الدین جمشید کاشانى، مفتاح‌الحساب، و الرسالة‌المحیطیة، ]همراه با ترجمة روسى از[ بوریس روزنفلد، مسکو 1956؛ محمدبن محمد نصیرالدین طوسى، مجموعة رسائل ریاضى و نجومى خواجه‌نصیرالدین طوسى، چاپ فرید قاسملو، تهران 1389ش؛Adel Anbouba, "L'algébre arabe aux IXe et Xe siécles: aperçu général", Journal for the history of Arabic science, vol.2, no.1 (May 1978); Archimedes, Archiméde, texte ; établi et traduit par Charles Mugler, Paris 1970- Brahmagupta and Bhāskarācārya, Algebra with arithmetic and mensuration: from the Sanskrit of Thomas Colebrooke, Henry tr. Bháscara, and Brahmegupta London 1817; Euclid, The thirteen books of Euclid's Elements, translated from the text of Heiberg with introduction and commentary by Thomas L. Heath, 2nd ed. revised with additions, New York 1956; Thomas Little Heath, A history of Greek mathematics, New York 1981; Heron of Alexandria, Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia, vol.4: Définitions, geometrica, ed. John Ludvig Heiberg, Leipzig 1912; Jan P. Hogendijk, "Greek Arabic constructions of the regular heptagon", Archive for history of exact sciences, vol.30, no.3-4 (1984); Jean-Claud Martzloff, A history of Chinese mathematics, [tr. Stephen S. Wilson], Berlin 1997; Mathematical cuneiform texts, ed. Otto Neugebauer and A. Sachs, New Haven: The American Oriental Society, 1945; Claudius Ptolemy, Ptolemy's Almagest, translated and annotated by G. J. Toomer, Princeton, N. J. 1998; The Rhind mathematical papyrus, [ed.] Arnold Buffum Chace et al., Oberlin:Mathematical Association of America, 1927-1929; Boris Abramovich Rozenfeld and Ekmeleddin İhsanoğlu, Mathematicians, astronomers, and other scholars of Islamic civilization and their works (7th-19thc.), İstanbul 2003; Fuat Sezgin, Geschichte des arabischen Schrifttums, Leiden 1967- ; Moritz Steinschneider, Die europäischen Übersetzungen aus dem Arabischen bis Mitte des 17.Jahrhunderts, Graz 1956; Adolf P. Youschkevitch, Les mathématiques arabes: VIIIe- XVe siècles, tr. M. Cazenave and K. Jaouiche, Paris 1976.
نظر شما
ایمیل ایمیل
مولفان

احمد جبار

حوزه موضوعی
رده های موضوعی
جلد 17
تاریخ چاپ 93
وضعیت انتشار
  • چاپ شده