تثلیث زاویه
معرف
مسئلة‌ تقسیم‌ زاویه‌ای‌ مفروض‌ به‌ سه‌ بخش‌ مساوی‌ که‌ یکی‌ از سه‌ مسئلة‌ مشهور هندسة‌ یونان‌ باستان‌ بود (دو مسئلة‌ دیگر: تضعیف‌ مکعب‌ * و تربیع‌ دایره‌ * )
متن
تثلیث‌ زاویه‌ ، مسئلة‌ تقسیم‌ زاویه‌ای‌ مفروض‌ به‌ سه‌ بخش‌ مساوی‌ که‌ یکی‌ از سه‌ مسئلة‌ مشهور هندسة‌ یونان‌ باستان‌ بود (دو مسئلة‌ دیگر: تضعیف‌ مکعب‌ * و تربیع‌ دایره‌ * ). اقلیدس‌ در حدود 300 ق‌م‌، در قضیة‌ 10 مقالة‌ اول‌ اصول‌ نحوة‌ تقسیم‌ زاویة‌ مفروضی‌ را به‌ دو بخش‌ مساوی‌ با خط‌کش‌ و پرگار نشان‌ داد. پیر ل‌. وانتسل‌ (1814ـ 1848) ریاضیدان‌ اروپایی‌، در 1837 با استفاده‌ از نظریة‌ معادله‌های‌ جبری‌ ثابت‌ کرد که‌ تثلیث‌ زاویه‌ با خط‌کش‌ و پرگار در حالت‌ کلی‌ ناممکن‌ است‌ (کلاین‌ ، ص‌764) اما بعضی‌ زاویه‌های‌ خاص‌، مثلاً زاویة‌ °90، را می‌توان‌ با خط‌کش‌ و پرگار تثلیث‌ کرد.در قرن‌ دوم‌ یا سوم‌ ق‌م‌، هندسه‌دانان‌ یونان‌ روشهایی‌ برای‌ تثلیث‌ زاویه‌ از راههای‌ دیگر یافتند ( رجوع کنید به هیث‌ ، ج‌ 1، ص‌ 235ـ 244). یکی‌ از راههای‌ تثلیث‌ ابداعی‌ یونانیان‌ را می‌توان‌ از روی‌ کتاب‌ مأخوذات‌ منسوب‌ به‌ ارشمیدس‌، که‌ تنها ترجمة‌ عربی‌ دورة‌ اسلامی‌ آن‌ به‌ جا مانده‌ است‌، بازیافت‌ (شکل‌ 1). دایره‌ای‌ به‌ مرکز C می‌کشیم‌ و فرض‌ می‌کنیم‌ که‌ تثلیث‌ زاویة‌ PCA با نقطه‌های‌ P و A روی‌ دایره‌ مطلوب‌ است‌. از نقطة‌ A قطر AB را می‌کشیم‌ و آن‌ را از طرف‌ B امتداد می‌دهیم‌. اکنون‌ پاره‌خط‌ QR برابر با شعاع‌ دایره‌ را بین‌ لبة‌ بیرونی‌ دایره‌ و امتداد قطر چنان‌ درج‌ می‌کنیم‌ که‌ نقطة‌ Q روی‌ دایره‌ بین‌ P و B باشد و نقطة‌ P بر راستای‌ RQ واقع‌ شود. اکنون‌ زاویة‌ QCR یک‌ سوم‌ زاویة‌ PCA است‌. این‌ ترسیم‌ نمونه‌ای‌ از ترسیمهای‌ موسوم‌ به‌ «درج‌» در هندسة‌ یونان‌ است‌. درج‌ یعنی‌ قراردادن‌ پاره‌خطی‌ راست‌، به‌ طول‌ مفروض‌، بین‌ دو منحنی‌ مفروض‌ چنانکه‌ این‌ پاره‌خط‌ یا راستای‌ آن‌ از نقطة‌ مفروضی‌ بگذرد. برخی‌ هندسه‌دانان‌ یونان‌ (مانند ارشمیدس‌) این‌ شیوة‌ ترسیم‌ را بدون‌ توجیه‌ اضافی‌ می‌پذیرفتند.سایر هندسه‌دانان‌ یونان‌ کاربرد مقطعهای‌ مخروطی‌ را ترجیح‌ می‌دادند. دو روش‌ تثلیث‌ زاویه‌ با دایره‌ و هذلولی‌ در مجموعة‌ پاپوس‌ اسکندرانی‌ * به‌ جا مانده‌ است‌. ترجمة‌ عربی‌ یکی‌ از این‌ روشها در نوشته‌های‌ بنوموسی‌ * و ثابت‌بن‌ قرّه‌ * آمده‌ است‌. ابوسهل‌ کوهی‌ در قرن‌ چهارم‌ روش‌ بسیار ساده‌ای‌ برای‌ تثلیث‌ زاویه‌ ابداع‌ کرد. این‌ روش‌ را احمدبن‌محمدبن‌عبدالجلیل‌ سِجزی‌ بنادرست‌ از آنِ خود خوانده‌ است‌ (برای‌ متنهای‌ عربی‌ در بارة‌ تثلیث‌ رجوع کنید به نور ، ص‌267ـ309 و برای‌ چاپ‌ عکسی‌ این‌ نسخه‌ها رجوع کنید به همان‌، ص‌358ـ363 ،370؛ برای‌ روش‌ ابوسهل‌ کوهی‌ رجوع کنید به صاییلی‌، ص‌693ـ700).در روش‌ ابوسهل‌ کوهی‌ فرض‌ می‌شود که‌ می‌خواهیم‌ زاویة‌ ACB را تثلیث‌ کنیم‌ (شکل‌ 2). دایره‌ای‌ به‌ مرکز C و شعاع‌ دلخواه‌ می‌کشیم‌ و فرض‌ می‌کنیم‌ که‌ A و B روی‌ این‌ دایره‌ واقع‌اند. BC را امتداد می‌دهیم‌ تا دایره‌ را در D قطع‌ کند و وسط‌ CD را M می‌نامیم‌. سپس‌ هذلولی‌ متساوی‌الساقین‌ به‌ مرکز M و گذرنده‌ از C را چنان‌ می‌کشیم‌ که‌ خط‌ AC بر آن‌ مماس‌ باشد. این‌ هذلولی‌، دایره‌ را در نقطة‌ E بین‌ A و B قطع‌ خواهد کرد. اکنون‌ زاویة‌ EDB یک‌ سوم‌ زاویة‌ ACB است‌. برهان‌: EF را به‌ موازات‌ AC می‌کشیم‌ تا BC را در F قطع‌ کند و EC را رسم‌ می‌کنیم‌. چون‌ E روی‌ هذلولی‌ است‌ (بنابه‌ قضیة‌ 12 مقالة‌ اول‌ مخروطات‌ آپولونیوسِ پرگایی‌ * ) = FC.FD 2 EF ، پس‌ متشابه‌اند، بنابراین‌ EDC â EDF = â CEF = â . چون‌ E روی‌ دایره‌ است‌، EC = CD ، پس‌ EDC â CED = â . بنابر این‌ EDC â 3 EDF = â FED + â EFB = â ACB = â .این‌ فرض‌ ابوسهل‌ کوهی‌ که‌ می‌توان‌ هذلولی‌ فوق‌ را رسم‌ کرد مبتنی‌ است‌ بر نظریة‌ مذکور در پایان‌ مقالة‌ اول‌ مخروطات‌ آپولونیوس‌ پرگایی‌ (200 ق‌ م‌) که‌ در قرن‌ سوم‌ به‌ عربی‌ ترجمه‌ شد. آپولونیوس‌ در آنجا ترسیم‌ مخروطی‌ سه‌بُعدی‌ را تشریح‌ کرده‌ که‌ صفحه‌ را در مقطع‌ مخروطی‌ مطلوب‌ قطع‌ می‌کند. ابوسهل‌ کوهی‌ رساله‌ای‌ دارد دربارة‌ نوع‌ خاصی‌ پرگار که‌ با آن‌ می‌توان‌ این‌ نوع‌ ترسیم‌ را انجام‌ داد. شاهدی‌ برای‌ این‌ که‌ این‌ پرگار کامل‌ (البرکارالتام‌) عملاً به‌ کار می‌رفته‌ است‌، موجود نیست‌. در عهد ابوسهل‌ کوهی‌، تثلیث‌ زاویه‌ تنها اهمیت‌ نظری‌ داشت‌. وقتی‌ ارتباط‌ تثلیث‌ زاویه‌ با مسئلة‌ محاسبة‌ سینوس‌ ْ1، که‌ در جدولهای‌ مثلثاتی‌ کمّیتی‌ بنیادی‌ است‌، معلوم‌ شد این‌ وضع‌ تغییر کرد. اگر زاویة‌ a را بتوان‌ با خط‌کش‌ و پرگار رسم‌ کرد، همواره‌ می‌توان‌ سینوس‌ a را به‌ کمک‌ جذرگیری‌ با دقت‌ دلخواه‌ محاسبه‌ کرد. به‌ این‌ ترتیب‌، مثلاً می‌توان‌ سینوس‌ ْ3 را محاسبه‌ کرد.غیاث‌الدین‌ جمشید کاشانی‌ در رسالة‌ وَتَر و جَیْب‌ که‌ باقی‌ نمانده‌ ولی‌ به‌ صورت‌ شرحهایی‌ که‌ بعداً بر آن‌ نوشته‌اند در دست‌ است‌، نشان‌ داده‌ است‌ که‌ تثلیث‌ هر زاویة‌ مفروض‌ را می‌توان‌ به‌ مسئلة‌ حل‌ معادلة‌ درجة‌ سوم‌ px = q + 3 x که‌ در آن‌ p و q کمّیتهای‌ مثبت‌ معلومی‌ هستند تحویل‌ کرد ( رجوع کنید بهقاضی‌زادة‌ رومی‌، ص‌44). او روشی‌ مبتنی‌ بر تکرار برای‌ یافتن‌ x (ریشة‌ معادله‌) ابداع‌ کرد. در مورد تثلیث‌ زاویة‌ ْ3 ، این‌ روش‌ یک‌ رشته‌ تقریبهای‌ سریعاً همگرا برای‌ سینوس‌ ْ1 عرضه‌ می‌کند. وی‌ سپس‌ مقدار دقیق‌ سینوس‌ ْ1 را به‌ عنوان‌ مبنای‌ جدول‌ سینوس‌ جدیدی‌ به‌ کار برد (یوشکویچ‌ ، ص‌319ـ323).بیرونی‌ در مقالة‌ سوم‌ قانون‌ مسعودی‌ به‌ بررسی‌ ضلع‌ نُه‌ ضلعی‌ منتظم‌ در دایره‌ای‌ به‌ شعاع‌ معلوم‌ پرداخته‌ است‌ تا وتر ْ40 یا، به‌ عبارت‌ دیگر، دو برابر سینوس‌ ْ20 را محاسبه‌ کند (ج‌1، ص‌286ـ291). او نشان‌ داده‌ که‌ این‌ مقدار را در صورت‌ حل‌ هریک‌ از دو معادلة‌ x 3 + 1 = 3 x یا x 3 = 1 + 3 x نیز می‌توان‌ یافت‌، و تقریبی‌ برای‌ جواب‌ معادله‌ یافته‌ است‌ که‌ به‌ کمک‌ آن‌ سینوس‌ ْ20 با دقت‌ 7 رقم‌ دهدهی‌ محاسبه‌ می‌شود (شوی‌ ، ص‌78ـ82). این‌ مسئله‌ معادل‌ است‌ با تثلیث‌ زاویة‌ ْ60 (یوشکویچ‌، ص‌311).در ریاضیات‌ اروپا، تثلیث‌ بار دیگر در آثار فرانسوا ویت‌ دیده‌ می‌شود. او از تثلیث‌ برای‌ حل‌ معادلة‌ درجة‌ سوم‌ px = q + 3 x استفاده‌ کرده‌است‌. روش‌ جبری‌ منجر به‌اعداد مختلط‌ می‌شود که‌ ویت‌ از آن‌ پرهیز داشت‌ (کلاین‌، ص‌ 266ـ272).منابع‌: محمدبن‌ احمد ابوریحان‌ بیرونی‌، کتاب‌ القانون‌ المسعودی‌ ، حیدرآباد دکن‌ 1373ـ 1375/ 1954ـ1956؛ موسی‌بن‌ محمود قاضی‌زادة‌ رومی‌، شرح‌ چغمینی‌ ، همراه‌ با رسالة‌ فی‌ استخراج‌ جیب‌ الدرجة‌ الواحدة‌ علی‌ التحقیق‌ الحقیق‌ استخرجه‌ افضل‌ المهندسین‌ غیاث‌الدین‌ جمشید القاسانی‌ ، چاپ‌ سنگی‌ تهران‌ 1286؛Thomas L. Heath, A history of Greek mathematics , New York 1981; A. P. Juschkewitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (ترجمه‌ از متن‌ روسی‌) , Leipzig 1964; Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times , New York 1972; Wilbur R. Knorr, Textual studies in ancient and medieval geometry , Boston 1989; Ayd ân Say âl â, "The trisection of the angle by Abu ¦Sahl Waijan ibn Rustam al-Ku ¦h ¦â" با ترجمة‌ ترکی‌ و انگلیسی‌) (متن‌ عربی‌ همراه‌ , Belleten , XXVI (1962); Carl Schoy, Die Trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen... al-B i ¦ru ¦n i ¦, Hannover 1927.
نظر شما
ایمیل ایمیل
مولفان

ی . پ . هوخندایک

حوزه موضوعی
رده های موضوعی
جلد 6
تاریخ چاپ 93
وضعیت انتشار
  • چاپ شده