تضعیف مکعب
معرف
یکی‌ از سه‌ مسئلة‌ هندسی‌ مشهور در یونان‌ باستان‌ (دو مسئلة‌ دیگر: تثلیث‌ زاویه‌ * ، تربیع‌ دایره‌ * )و مسئله‌ای‌ مهم‌ در ریاضیات‌ دورة‌ اسلامی‌
متن
تضعیف‌ مکعب‌ ، یکی‌ از سه‌ مسئلة‌ هندسی‌ مشهور در یونان‌ باستان‌ (دو مسئلة‌ دیگر: تثلیث‌ زاویه‌ * ، تربیع‌ دایره‌ * )و مسئله‌ای‌ مهم‌ در ریاضیات‌ دورة‌ اسلامی‌. موضوع‌ این‌مسئله‌، ساختن‌ مکعبی‌ با حجم‌ دو برابر مکعب‌ مفروض‌دیگر است‌ که‌ نخستین‌ بار پیش‌ از سال‌ 450 ق‌م‌ مطرح‌شد. بر اساس‌ افسانه‌هایی‌ این‌ مسئله‌ منشأ دینی‌ دارد: ساختن‌ محرابی‌ با حجم‌ دو برابر محراب‌ مفروضِ دیگر چنانکه‌شکل‌ هر دو محراب‌ یکسان‌ (مثلاً هر دو مکعب‌) باشد. تعبیر جبری‌ این‌ مسئله‌ آن‌ است‌ که‌ ریشة‌ سومِ (کعب‌) عدد 2 (یعنی‌ 2 ¡ 3 ) را به‌ دست‌ آوریم‌ (کلاین‌ ، ص‌764). بقراط‌ (ح 450 ق‌م‌) این‌ مسئله‌ را به‌ صورت‌ درج‌ دو واسطة‌ تناسب‌ میان‌ دو مقدارِ (یا دو پاره‌خط‌) معلوم‌ a و b مطرح‌ کرد: yb ax = xy = . ریاضی‌دانان‌ یونانی‌ پس‌ از او مسئله‌ را به‌ این‌ صورت‌ حل‌ کردند که‌ اگر در این‌ معادله‌، a 2 = b باشد، خواهیم‌ داشت‌: 3 a 2 = 3 x . اگر از دو طرف‌ این‌ معادله‌، ریشة‌ سوم‌ بگیریم‌، x ضلع‌مکعبی‌ است‌ که‌ حجم‌ آن‌ دو برابر حجم‌ مکعب‌ دیگر با ضلع‌مفروض‌ a است‌.در قرن‌ چهارم‌ پیش‌ از میلاد و پس‌ از آن‌، بسیاری‌ از هندسه‌دانان‌ یونانی‌، حالتهای‌ گوناگون‌ واسطه‌های‌ تناسب‌ میان‌ دو خط‌ معلوم‌ را بررسی‌ کردند. در اینجا فهرستی‌ از هندسه‌دانان‌ و روشهای‌ آنان‌ برای‌ حل‌ این‌ مسئله‌ آمده‌ است‌ (برای‌ جزئیات‌ رجوع کنید به هیث‌ ، ج‌ 1، ص‌ 244ـ270): ارخوطس‌ تاراسی‌ (نیمة‌ نخست‌ قرن‌ چهارم‌ پیش‌ از میلاد) با تقاطع‌ یک‌ استوانه‌ و مخروطی‌ قائم‌ و یک‌ چنبره‌، راه‌حلی‌ ترسیمی‌ برای‌ مسئله‌ عرضه‌ کرد. در کتاب‌ معرفة‌ مساحة‌ الاشکال‌ بنوموسی‌ (قرن‌ سوم‌)، این‌ راه‌ حل‌ به‌ منلائوس‌/ مانالاوس‌ نسبت‌ داده‌ شده‌ است‌ (قربانی‌، ص‌ 150). منایخموس‌ (ح 350 ق‌ م‌) از تقاطع‌ یک‌ سهمی‌ و یک‌ هذلولی‌ راه‌حل‌ هندسی‌ تازه‌ای‌ برای‌ مسئله‌ به‌ دست‌ آورد. توضیح‌ روش‌ او با روابط‌ جبری‌ ساده‌ است‌: اگر هذلولی‌ با معادلة‌ xy = ab یا yb ax = و سهمی‌ با معادلة‌bx = 2 y را در نظر بگیریم‌، معادلة‌ نقطة‌ تلاقی‌ آنها عبارت‌ است‌ از: b y = y x = x a .راه‌حلی‌ بر پایة‌ استفاده‌ از مجموعة‌ چند خط‌کش‌ به‌ افلاطون‌ (427ـ347 ق‌م‌) منسوب‌ است‌ که‌ درست‌ نیست‌، زیرا افلاطون‌ (در حل‌ مسائل‌) از به‌ کارگیری‌ چنین‌ ابزارهایی‌ متنفر بود. راه‌حل‌ مکانیکی‌ دیگری‌ به‌ اراتستن‌ (قرن‌ سوم‌ پیش‌ از میلاد)منسوب‌ است‌. دیوکلس‌ (قرن‌ اول‌ پیش‌ از میلاد) در یکی‌ از کتابهای‌ خود با عنوان‌ > در بارة‌ آیینه‌های‌ سوزان‌ < راه‌حلی‌با استفاده‌ از تقاطع‌ دو سهمی‌ مطرح‌ کرد. معادله‌های‌ این‌ دو سهمی‌ با نمادگذاری‌ امروزی‌ چنین‌ است‌: ay = 2 x و bx = 2 y . او با استفاده‌ از نوعی‌ منحنی‌ به‌ نام‌ «پیچک‌نما» راه‌حل‌ جدیدی‌ یافت‌. نیکومدس‌ (قرن‌ دوم‌ پیش‌ از میلاد) با استفاده‌ از ترسیمهایی‌ به‌نام‌ «درج‌» ( رجوع کنید به تثلیث‌ زاویه‌ * ) راه‌حل‌ دیگری‌ مطرح‌ کرد.چندین‌ هندسه‌دان‌، از جمله‌ آپولونیوس‌ پرگایی‌ (ح 200 ق‌م‌)، مسئله‌ را با تقاطع‌ یک‌ دایره‌ و یک‌ هذلولی‌ حل‌ کردند. ریاضی‌دانان‌ دورة‌ اسلامی‌ این‌ راه‌حل‌ را کاملاً می‌شناخته‌اند.اسپوروس‌ و پاپوس‌ (هر دو قرن‌ سوم‌ میلادی‌) با استفاده‌ از خط‌کشی‌ متحرک‌ به‌ راه‌حل‌ دیگری‌ دست‌ یافتند. بیشتر راه‌حلهای‌ ریاضی‌دانان‌ یونانی‌ از طریق‌ تفسیر ائوتوکیوس‌ (در منابع‌ اسلامی‌: اوطوقیوس‌) بر بخش‌ دوم‌ کتاب‌ ارشمیدس‌ با عنوان‌ > در بارة‌ کره‌ و استوانه‌ < به‌ عربی‌ ترجمه‌ شد. بعلاوه‌، بعدها راه‌حلهایی‌ از متنهای‌ یونانی‌ به‌ لاتینی‌ راه‌ یافت‌. در سده‌های‌ میانی‌، بیشتر ریاضی‌دانان‌ دورة‌ اسلامی‌ و لاتینی‌ به‌ راه‌حلهای‌ موجود اکتفا می‌کردند و راه‌حل‌ جدیدی‌ ارائه‌ نکردند. فقط‌ مرجوع کنید بهتمن‌بن‌ هود، حاکم‌ اندلس‌، با تلفیق‌ روش‌ منایخموس‌ و روشی‌ که‌ به‌ آپولونیوس‌ نسبت‌ داده‌ می‌شود، راه‌حل‌ ترسیمی‌ جدیدی‌ برای‌ یافتن‌ دو واسطة‌ تناسب‌ با استفاده‌ از یک‌ سهمی‌ و یک‌ دایره‌ به‌ دست‌ آورد (هوخندایک‌ ، ص‌13ـ 29). در رساله‌های‌ جبری‌ دورة‌ اسلامی‌، راه‌حلهای‌ هندسی‌ این‌ مسئله‌ تکرار شده‌ است‌؛ مثلاً در رسالة‌ فی‌ البراهین‌ علی‌ مسائل‌ الجبر و المقابلة‌ خیام‌ در بحث‌ حل‌ هندسی‌ معادلة‌ = c 3 x این‌ مطلب‌ دیده‌ می‌شود (خیام‌، ص‌ 209ـ210). برای‌ خیام‌ و ریاضی‌دانان‌ معاصر او و متأخران‌، محاسبة‌ مقدار تقریبی‌( c ¡ 3 ) از روش‌ هندسی‌ یافتن‌ ریشة‌ x در معادلة‌ c = 3 x ، که‌تنها اهمیت‌ نظری‌ داشت‌، جالبتر بود. به‌ گفتة‌ خیام‌، ابن‌هیثم‌ مسئلة‌ یافتن‌ چهار واسطة‌ تناسب‌ 1 x ... 4 x میان‌ دو پاره‌خط‌ مفروض‌ a و b را حل‌ کرده‌ بوده‌ است‌ (همان‌، ص‌ 236). به‌ بیان‌ جبری‌، حل‌ این‌ مسئله‌ هم‌ارز حل‌ معادلة‌ b 4 = a 5 1 x است‌. خیام‌ در رسالة‌ فی‌ البراهین‌ (ص‌ 200) نیز می‌گوید که‌ حل‌عددی‌ (تقریبی‌) معادلة‌ = c n x را در رسالة‌ دیگری‌ بیان‌ کرده‌ است‌. امروزه‌ این‌ اثر در دست‌ نیست‌ (قربانی‌، ص‌ 334).نر چند رسالة‌ عربی‌ در بارة‌ تضعیف‌ مکعب‌ را به‌ انگلیسی‌ ترجمه‌ کرده‌ است‌ ( رجوع کنید به ص‌ 251ـ372).در قرن‌ یازدهم‌/ هفدهم‌، ریاضی‌دانان‌ اروپایی‌ به‌ حل‌مسئله‌ در حالت‌ کلی‌ علاقه‌مند شدند. رنه‌دکارت‌ در کتاب‌ > هندسه‌ < (1047/1637) مسئله‌ را به‌ صورت‌ درج‌ nواسطة‌ تناسب‌ میان‌ دو پاره‌خط‌ مفروض‌ a و b مطرح‌ کرد که‌ عبارت‌ بود از یافتن‌ n پاره‌خط‌ از 1 x تا n x ، بدین‌صورت‌: b n = x n x 1 n- x ... = 2 x 1 x = 1 ax (بوس‌ ، 1981، ص‌ 309). دکارت‌ حل‌ این‌ مسئله‌ را با به‌ کارگیری‌ منحنیهای‌ جبری‌ و ترسیم‌ آنها بررسی‌ کرد. بدین‌ترتیب‌ حالت‌ عمومی‌ موضوع‌ به‌ محاسبة‌ ریشه‌های‌ معادلات‌ جبری‌ (با استفاده‌ از منحنیها) مربوط‌ شد. در 1253/1837 وانتسل‌ ، ریاضی‌دان‌ اروپایی‌، ثابت‌ کرد که‌ مسئله‌ با خط‌کش‌ و پرگار حل‌شدنی‌ نیست‌.منابع‌: عمربن‌ ابراهیم‌ خیام‌، دانشنامة‌ خیّامی‌: مجموعة‌ رسائل‌ علمی‌، فلسفی‌ و ادبی‌ ، چاپ‌ رحیم‌ رضازاده‌ ملک‌: رسالة‌ فی‌البراهین‌ علی‌ مسائل‌ الجبر و المقابلة‌ ، تهران‌ 1377 ش‌؛ ابوالقاسم‌ قربانی‌، زندگینامة‌ ریاضیدانان‌ دورة‌ اسلامی‌: از سدة‌ سوم‌ تا سدة‌ یازدهم‌ هجری‌ ، تهران‌ 1365ش‌؛Henk J.M. Bos, "Arguments on motivation in the riseand decline of a mathematical theory: the `construction of equations', 1637-1750", Archive for history of exact sciences , 30 (1984), 331-380; idem, "On the representation of curves in Descartes , gإomإtrie", Archive for history of exact sciences , 24 (1981); Thomas Heath, A history of Greek mathematics , New York 1981; Jan P. Hogendijk, "Four constructions of two mean proportionals between two lines in the Book of Perfection ) Istikma ¦ l ) of al-Mu'taman", Journal for the history of Arabic science , 10 (1992-1994); Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times , New York 1972; Wilbur R. Knorr, Textual studies in ancient and medieval geometry , Boston 1989.
نظر شما
ایمیل ایمیل
مولفان

یان . پ . هوخندایک

حوزه موضوعی

تاریخ علم

رده های موضوعی
جلد 7
تاریخ چاپ 93
وضعیت انتشار
  • چاپ شده