تربیع دایره
معرف
مسئله‌ای‌ در هندسه‌ در بارة‌ ترسیم‌ مربعی‌ که‌ مساحتش‌ با مساحت‌ دایره‌ای‌ مفروض‌ برابر باشد
متن
تربیع‌ دایره‌ ، مسئله‌ای‌ در هندسه‌ در بارة‌ ترسیم‌ مربعی‌ که‌ مساحتش‌ با مساحت‌ دایره‌ای‌ مفروض‌ برابر باشد. این‌ مسئله‌، یکی‌ از سه‌ مسئلة‌ هندسی‌ مشهور در یونان‌ باستان‌ و دورة‌ اسلامی‌ است‌ (دو مسئلة‌ دیگر: تضعیف‌ مکعب‌ * و تثلیث‌ زاویه‌ * ). اگر بتوان‌ شکلی‌ محصور با پاره‌خطهای‌ راست‌ یافت‌ که‌ مساحتش‌ با مساحت‌ دایرة‌ مفروض‌ برابر باشد، این‌ مسئله‌ حل‌شدنی‌ است‌.نسلهای‌ متوالی‌ از هندسه‌دانان‌ یونان‌ با این‌ مسئله‌ و گونه‌های‌ مختلف‌ آن‌ درگیر بودند. در حدود 450 ق‌ م‌ بقراط‌ خیوسی‌ نشان‌ داد که‌ به‌ کمک‌ خط‌کش‌ و پرگار می‌توان‌ مربعی‌ هم‌مساحت‌ با نوع‌ خاصی‌ ماهک‌ (شکل‌ هلالی‌ محصور به‌ دو کمان‌ دایره‌) رسم‌ کرد. او همچنین‌ نشان‌ داد که‌ می‌توان‌ مربعی‌ یافت‌ که‌ مساحتش‌ با نوعی‌ دیگر از ماهک‌ به‌علاوة‌ یک‌ دایره‌ برابر باشد، البته‌ این‌ کار منجر به‌ حل‌ مسئلة‌ تربیع‌ دایره‌ نمی‌شود (هیث‌ ، ج‌ 1، ص‌ 183ـ200).آنتیفونِ آتنی‌ (ح 400 ق‌ م‌) متوجه‌ شد که‌ تربیع‌ دایره‌ به‌طور تقریبی‌ ممکن‌ است‌، زیرا می‌توان‌ مربعهایی‌ رسم‌ کرد که‌ مساحتشان‌ با چند ضلعیهای‌ منتظم‌ محاطی‌ دارای‌ چهار یا هشت‌ یا شانزده‌ ... ضلع‌ برابر باشد. دینوستراتوس‌ (میانة‌ قرن‌ چهارم‌ پیش‌ از میلاد) برای‌ تربیع‌ دایره‌ از یک‌ منحنی‌ غیرجبری‌ به‌ نام‌ مربع‌ساز استفاده‌ کرد. ارشمیدس‌ (قرن‌ سوم‌ پیش‌ از میلاد) ثابت‌ کرد که‌ مساحت‌ دایره‌ با مساحت‌ مثلث‌ قائم‌الزاویه‌ای‌ که‌ قاعده‌اش‌ برابر با محیط‌ دایره‌ و ارتفاعش‌ برابر با شعاع‌ دایره‌ باشد، برابر است‌؛ بنابراین‌، در صورتی‌ که‌ بتوان‌ پاره‌خط‌ راستی‌ مساوی‌ با محیط‌ دایره‌ رسم‌ کرد، تربیع‌ دایره‌ ممکن‌ است‌. ارشمیدس‌ چنین‌ پاره‌خطی‌ را به‌ کمک‌ خط‌ مماس‌ بر یک‌ مارپیچ‌ رسم‌ کرد. هیچیک‌ از این‌ راه‌حلها با ابزارهای‌ متعارف‌ در هندسة‌ اقلیدسی‌ (خط‌کش‌ و پرگار) مقدور نیست‌ و در واقع‌ حل‌ این‌ مسئله‌ با خط‌کش‌ و پرگار ناممکن‌ است‌ (هیث‌، همانجا). ارشمیدس‌ روش‌ دیگری‌ هم‌ برای‌ حل‌ این‌ مسئله‌ عرضه‌ کرد که‌ در نهایت‌ مفیدتر از کار در آمد. او با در نظر گرفتن‌ 96 ضلعیهای‌ منتظم‌ محاطی‌ و محیطی‌ نشان‌ داد که‌ نسبت‌ محیط‌ دایره‌ به‌ قطر آن‌ ــ که‌ اکنون‌ با حرف‌ یونانی‌  نشان‌ داده‌ می‌شود ــ بتقریب‌ 17 3 <  < 1071 3 است‌.ریاضیدانان‌ دورة‌ اسلامی‌ نیز برای‌ حل‌ مسئلة‌ تربیع‌ دایره‌، آن‌ را از جنبة‌ نظری‌ و عملی‌ یعنی‌ بسط‌ تقریبی‌  و تکمیل‌ روش‌ دوم‌ ارشمیدس‌، بررسی‌ کردند. دانشمندان‌ دورة‌ اسلامی‌ نخستین‌ بار از طریق‌ رسالة‌ تربیع‌ الدائرة‌ ارشمیدس‌ که‌ ثابت‌بن‌ قُرّه‌ (سزگین‌، ج‌ 5، ص‌130ـ131) آن‌ را از یونانی‌ به‌ عربی‌ ترجمه‌ کرد، با مسئلة‌ تربیع‌ دایره‌ آشنا شدند. این‌ رساله‌ در دورة‌ اسلامی‌ به‌ نامهای‌ تکسیر دایره‌، مساحة‌الدایرة‌ ، و کتاب‌ مساحة‌ الدائرة‌ و تکسیرها نیز شناخته‌ می‌شد (همان‌، ج‌ 5، ص‌130). خواجه‌نصیرالدین‌ طوسی‌ در قرن‌ هفتم‌ آن‌ را بازنویسی‌ کرد. این‌ بازنویسی‌ با عنوان‌ مقالة‌ ارشمیدس‌ فی‌ تکسیر الدائرة‌ در انتهای‌ رسالة‌ تحریر الکرة‌ و الاسطوانة‌ ارشمیدس‌ (ص‌ 127ـ133) به‌چاپ‌ رسیده‌ است‌. صفدی‌ به‌ اشتباه‌ رساله‌ای‌ با نام‌ تربیع‌ الدایرة‌ را به‌ خواجه‌نصیرالدین‌ طوسی‌ نسبت‌ داده‌ است‌ (ج‌ 1، ص‌ 181) و ون‌ دایک‌ نیز از متن‌ چاپ‌ شدة‌ رسالة‌ شکل‌ القطاع‌ خواجه‌نصیرالدین‌ طوسی‌ به‌ اشتباه‌ با عنوان‌ تربیع‌ الدائرة‌ یاد کرده‌ است‌ (ص‌239).از دانشمندان‌ دورة‌ اسلامی‌، تنها ابن‌ هیثم‌ رسالة‌ مستقلی‌ در بارة‌ تربیع‌ دایره‌ به‌ نام‌ مقالة‌ فی‌ تربیع‌ الدایرة‌ تألیف‌، و در آن‌ (ص‌ 85) از رسالة‌ مساحة‌ الدایرة‌ ارشمیدس‌ یاد کرده‌ است‌. از رسالة‌ ابن‌هیثم‌ نسخه‌های‌ متعددی‌ باقی‌مانده‌ است‌ (برای‌ آگاهی‌ از مشخصات‌ آنها رجوع کنید به سزگین‌، ج‌ 5، ص‌ 365). ابن‌هیثم‌ در این‌ رساله‌ بیش‌ از آنکه‌ در جستجوی‌ راه‌حل‌ هندسی‌ تربیع‌ دایره‌ باشد، به‌دنبال‌ تبیین‌ فلسفی‌ این‌ مسئله‌ بوده‌ (آلبرتینی‌، ص‌ 6ـ7) و توضیح‌ داده‌ است‌ (ص‌ 46ـ47) که‌ در اینگونه‌ مسائل‌، عرضة‌ برهان‌ برای‌ امکان‌ حل‌ مسئله‌ کافی‌ است‌ و اعتبار این‌ برهان‌ بستگی‌ به‌ امکان‌ تحقق‌ یافتن‌ آن‌ ندارد. او در انتهای‌ این‌ رساله‌ (ص‌46) نوشته‌ است‌ که‌ بعدها در این‌ باره‌ رساله‌ای‌ تألیف‌ خواهد کرد، اما از آن‌ اطلاعی‌ در دست‌ نیست‌. سوتر، مقالة‌ فی‌ تربیع‌ الدایرة‌ را به‌ آلمانی‌ ترجمه‌ کرد و متن‌ عربی‌ را به‌ همراه‌ ترجمة‌ آلمانی‌ در 1899 در برلین‌ به‌ چاپ‌ رساند. این‌ رساله‌ به‌ فرانسوی‌ (آلبرتینی‌، ص‌ 12ـ17) نیز ترجمه‌ شده‌ است‌. ابن‌هیثم‌ همچنین‌ مسئلة‌ تربیع‌ دایره‌ را به‌طور نظری‌ با مسئلة‌ کلیتر تربیع‌ ماهکها مقایسه‌ کرده‌ که‌ تقریباً همان‌ روش‌ بقراط‌ خیوسی‌ برای‌ تربیع‌ ماهکهاست‌. ابن‌هیثم‌ (ص‌ 42) استدلال‌ کرده‌ است‌ که‌ اگر بتوان‌ ماهکها را تربیع‌ نمود، امکان‌ تربیع‌ دایره‌ نیز وجود خواهد داشت‌. او دو رسالة‌ مقالة‌ مختصرة‌ فی‌الاشکال‌ الهلالیة‌ و مقالة‌ مستقصاة‌ فی‌الاشکال‌ الهلالیة‌ (ابن‌ابی‌اصیبعه‌، ص‌ 559) را در بارة‌ تربیع‌ شکلهای‌ هلالی‌ (ماهکها) تألیف‌ کرده‌ بوده‌ که‌ در مقالة‌ فی‌ تربیع‌ الدایرة‌ خود (همانجا) از آنها یاد کرده‌ است‌. مقالة‌ مختصرة‌ باقی‌ نمانده‌ است‌ ولی‌ از مقالة‌ مستقصاة‌ چند نسخه‌ وجود دارد (برای‌ آگاهی‌ از این‌ نسخه‌ها رجوع کنید به سزگین‌، ج‌ 5، ص‌ 365ـ366).بعضی‌ دانشمندان‌ دورة‌ اسلامی‌ به‌ موضوع‌ تعیین‌ نسبت‌ محیط‌ دایره‌ به‌ قطر آن‌ پرداختند، از جمله‌ ابوریحان‌ بیرونی‌ (ج‌ 1، ص‌ 303) حدس‌ زد که‌ این‌ نسبت‌ کمّیتی‌ گُنگ‌ است‌ و غیاث‌الدین‌ جمشید کاشانی‌ مقدار تقریبی‌ آن‌ را با استفاده‌ از چند ضلعیهای‌ منتظم‌ محاطی‌ و محیطی‌ دارای‌ 28 2*3 ضلع‌ تا شانزده‌ رقم‌ دهدهی‌ به‌دست‌ آورد (قربانی‌، ص‌ 143ـ152)، اما ریاضیدانان‌ دورة‌ اسلامی‌ همچنان‌ در بارة‌ حل‌شدنی‌ بودن‌ مسئلة‌ تربیع‌ دایره‌ تردید داشتند.در مکتبهای‌ مختلف‌ ریاضی‌ جهان‌ کوششهایی‌ شد تا مقدار دقیق‌  که‌ معادل‌ حل‌ مسئلة‌ تربیع‌ دایره‌ است‌، بویژه‌ از طریق‌ نمایش‌  به‌صورت‌ رشته‌، تعیین‌ شود. ریاضیدانان‌ چینی‌ مقدار 355113 را برای‌  یافتند که‌ تا شش‌ رقم‌ دهدهی‌ صحیح‌ است‌. در مکتب‌ ریاضی‌ مادهوه‌ در کِرالا (هندوستان‌) نیز از 854/1450 به‌ بعد نتایجی‌ در این‌ راه‌، بدون‌ زیربنای‌ نظری‌ حساب‌ دیفرانسیل‌ و انتگرال‌، حاصل‌ شد (کاتس‌، ص‌ 494ـ 496). ریاضیدانان‌ اروپایی‌ نیز در قرن‌ یازدهم‌/ هفدهم‌ به‌ نتایج‌ مهمی‌ دست‌ یافتند؛ مثلاً جان‌ والیس‌ ، ریاضیدان‌ انگلیسی‌، حاصل‌ضرب‌ بی‌پایان‌ ... 76 . 56 . 54 . 34 . 32 =  4 را یافت‌. مثالِ دیگرِ تعیینِ مقدارِ  به‌ روش‌ حسابی‌ از گوتفرید ویلهلم‌ لایبنیتس‌ ، فیلسوف‌ و ریاضیدان‌ آلمانی‌، به‌صورت‌ ... 17 - 15 + 13 - 1 = 4  است‌ (همان‌، ص‌ 525 ـ527). این‌ پیشرفت‌ با پیدایش‌ حساب‌ دیفرانسیل‌ و انتگرال‌ در قرن‌ یازدهم‌/ هفدهم‌ مرتبط‌ بود. با این‌ حساب‌ جدید، رشته‌های‌ مشابه‌ ولی‌ پیچیده‌تری‌ برای‌ تقریب‌ زدن‌  به‌ شیوه‌ای‌ کارآمدتر از روش‌ ارشمیدس‌ یافته‌ شد و به‌کار رفت‌؛ مثلاً جان‌ مکین‌ ، ریاضیدان‌ انگلیسی‌، در 1118/ 1706 فرمول‌ را یافت‌ (بکمان‌ ، ص‌ 145). امروزه‌ به‌ کمک‌ رایانه‌ مقدار تقریبی‌  تا چند میلیارد رقم‌ دهدهی‌ به‌دست‌ آمده‌ است‌.تکلیف‌ مسئلة‌ تربیع‌ دایره‌ را سرانجام‌ فردیناند لیندمان‌ ، ریاضیدان‌ آلمانی‌، در 1299/ 1882 با اثبات‌ غیرجبری‌ بودن‌ عدد  روشن‌ کرد (کلاین‌، ص‌ 981ـ982). معنای‌ حکم‌ او این‌ است‌ که‌  نمی‌تواند ریشة‌ معادله‌ای‌ جبری‌ با ضریبهای‌ صحیح‌ باشد و بنابراین‌، مسئلة‌ هندسیِ یافتنِ مربعی‌ هم‌مساحت‌ با دایرة‌ مفروض‌ نه‌ با خط‌کش‌ و پرگار حل‌شدنی‌ است‌ نه‌ با سایر منحنیهای‌ جبری‌ مثل‌ مقاطع‌ مخروطی‌ که‌ در تثلیث‌ زاویه‌ و تضعیف‌ مکعب‌ به‌کار می‌روند. اثبات‌ لیندمان‌ بسیار پیچیده‌ است‌، ولی‌ بعدها نیون‌ ، ریاضیدان‌ انگلیسی‌ (1259ـ 1335/ 1843ـ1917)، اثباتهای‌ ساده‌تری‌ یافت‌ که‌ برای‌ هر دانشجوی‌ ریاضی‌ درک‌ شدنی‌ است‌. یانوش‌ بویویی‌ ، ریاضیدان‌ مجار (1217ـ1276/ 1802ـ1860)، در رساله‌اش‌ در بارة‌ هندسة‌ اقلیدسی‌ با نام‌ > پیوست‌ < (چاپ‌ 1248/ 1832)، نشان‌ داده‌ است‌ که‌ تربیع‌ دایره‌ برای‌ برخی‌ دایره‌ها در هندسة‌ نااقلیدسی‌ ممکن‌ است‌، زیرا مساحت‌ این‌ دایره‌ها برابر با 2  است‌ که‌ در آن‌  عدد متغیری‌ وابسته‌ به‌ شعاع‌ دایره‌ است‌ (اشتکل‌، ج‌ 2، ص‌ 214ـ216).منابع‌: ابن‌ ابی‌اصیبعه‌، عیون‌ الانباء فی‌ طبقات‌ الاطباء ، چاپ‌ نزاررضا، بیروت‌ ] 1965 [ ؛ ابن‌هیثم‌، مقالة‌ فی‌ تربیع‌ الدایرة‌ ، چاپ‌ هاینریش‌ سوتر درابوریحان‌ بیرونی‌، کتاب‌ القانون‌ المسعودی‌ ، حیدرآباد دکن‌ 1373ـ 1375/ 1954ـ1956؛ صفدی‌؛ ابوالقاسم‌ قربانی‌، کاشانی‌نامه‌: احوال‌ و آثار غیاث‌الدین‌ جمشید کاشانی‌ ، تهران‌ 1368 ش‌؛ محمدبن‌ محمد نصیرالدین‌ طوسی‌، مجموع‌ الرسائل‌ ، ج‌ 2: کتاب‌ فی‌ الکرة‌ و الاسطوانة‌ لارشمیدس‌ ، حیدرآباد دکن‌ 1359؛ ادوارد ون‌ دایک‌، کتاب‌ اکتفاء القنوع‌ بما هومطبوع‌ ، چاپ‌ محمدعلی‌ ببلاوی‌، مصر 1313/ 1896، چاپ‌ افست‌ قم‌ 1409؛
نظر شما
ایمیل ایمیل
مولفان

ی . پ . هوخندایک و فرید قاسملو

حوزه موضوعی

تاریخ علم

رده های موضوعی
جلد 7
تاریخ چاپ 93
وضعیت انتشار
  • چاپ شده