جبر و مقابله
معرف
با تحولاتی‌ که‌ به‌ویژه‌ از قرن‌ نوزدهم‌ میلادی‌ تاکنون‌ رخ‌ داده‌، واژة‌ جبر امروز بر یکی‌ از علوم‌ ریاضی‌ اطلاق‌ می‌شود که‌ موضوع‌ آن‌ بررسی‌ ساختارهای‌ جبری‌ (گروه‌، حلقه‌، هیئت‌،
متن
جبر و مقابله‌ ، با تحولاتی‌ که‌ به‌ویژه‌ از قرن‌ نوزدهم‌ میلادی‌ تاکنون‌ رخ‌ داده‌، واژة‌ جبر امروز بر یکی‌ از علوم‌ ریاضی‌ اطلاق‌ می‌شود که‌ موضوع‌ آن‌ بررسی‌ ساختارهای‌ جبری‌ (گروه‌، حلقه‌، هیئت‌،...) است‌، اما در این‌ مقاله‌ ما آن‌ را به‌ معنایی‌ محدودتر، و تاریخی‌تر، به‌کار خواهیم‌ برد. در این‌ معنی‌، جبر علمی‌ است‌ که‌ موضوع‌ آن‌ حل‌ معادلات‌ و نیز عملیات‌ بر روی‌ چند جمله‌ایهاست‌. این‌ علم‌ در دوران‌ اسلامی‌ «جبر» یا «جبر و مقابله‌» نامیده‌ می‌شده‌ است‌.معنای‌ واژه‌های‌ جبر و مقابله‌. واژة‌«الجبر» (در فارسی‌: «جبر») نخستین‌ بار در عنوان‌ کتاب‌ المختصر فی‌حساب‌ الجبر و المقابلة‌ تألیف‌ محمدبن‌ موسی‌ خوارزمی‌ * به‌کار رفته‌ و پس‌ از آشنایی‌ اروپاییان‌ با این‌ کتاب‌ (ادامة‌ مقاله‌) با مختصر تغییراتی‌ (مثلاً به‌ صورت‌ algebra در انگلیسی‌ و algةbre در فرانسه‌) به‌ زبانهای‌ دیگر راه‌ یافته‌ است‌. این‌ واژه‌ از ریشة‌ جَبَرَ در عربی‌ گرفته‌ شده‌ که‌ به‌ معنای‌ شکسته‌بندی‌ و جُبران‌ است‌، اما خوارزمی‌ آن‌ را بر عملِ افزودن‌ جمله‌های‌ مساوی‌ بر دو سوی‌ یک‌ معادله‌، برای‌ حذف‌ جمله‌های‌ منفی‌، اطلاق‌ می‌کند. واژة‌ «مقابله‌»، که‌ آن‌ هم‌ در عنوان‌ کتاب‌ خوارزمی‌ دیده‌ می‌شود،به‌ معنای‌ حذف‌ مقادیر مساوی‌ از دو طرف‌ معادله‌ است‌( رجوع کنید بهمحمدبن‌ موسی‌ خوارزمی‌، ص‌40). نویسندگان‌ آثار دایرة‌المعارفی‌، از جمله‌ محمدبن‌ احمد خوارزمی‌ (متوفی‌ 387؛ ص‌200) و فخررازی‌ (زندگی‌، 543 ـ 6061؛ ص‌ 393) و ابن‌اکفانی‌ (ص‌ 84) و طاشکوپری‌زاده‌ (ج‌1، ص‌ 369) و حاجی‌خلیفه‌ (ج‌ 1، ستون‌ 579) و غالب‌ جبردانان‌ پس‌ از خوارزمی‌، از جمله‌ ابوبکر محمد کَرَجی‌ * (قرن‌ چهارم‌)، واژة‌ جبر را به‌ همین‌ معنی‌ به‌کار برده‌اند (نیز رجوع کنید بهبلوستا ، ص‌74). ابوکامل‌ شجاع‌بن‌اسلم‌ * (نیمة‌دوم‌ قرن‌سوم‌) نیز مشتقات‌ واژة‌ جبر را به‌ همین‌ معنی‌ به‌کار می‌برد. مثلاً برای‌ حل‌ معادلة‌ 80 = x 20ـ100 می‌گوید: «صد درهم‌ را با بیست‌ شی‌ء جبر کن‌ و آن‌ را با هشتاد جمع‌ کن‌ (فَاجْبُرِ المِائةَ درهم‌ بِالعشرین‌ شی‌ء وَزِدْهابالثمانینَ)» تا به‌صورت‌ 100=80+ x 20 درآید ( رجوع کنید به ابوکامل‌، 1406 الف‌ ، ص‌49ـ50؛ همو، 1406 ب‌ ، ص‌69). ابوریحان‌ بیرونی‌ ( التفهیم‌ ، متن‌ عربی‌، ص‌37، متن‌ فارسی‌، ص‌48ـ49). عمل‌ جبر را به‌ افزودن‌ مقادیر مساوی‌ به‌ دو کفة‌ ترازو برای‌ حفظ‌ تعادل‌ آن‌ تشبیه‌ می‌کند و در این‌ تمثیل‌، بی‌آنکه‌ به‌ آن‌ تصریح‌ کند، به‌ اصول‌ a + c = b + c a = b و a - c = b - c a = b از اصول‌ متعارف‌ کتاب‌ اصول‌ اقلیدس‌ (ج‌1، ص‌155) استناد می‌جوید. خواجه‌نصیرالدین‌ طوسی‌ (597 ـ672؛ 1335 ش‌، ص‌ 19ـ20) و غیاث‌الدین‌ جمشید کاشانی‌ (متوفی‌832؛ ص‌189) و ابن‌غازی‌ مکناسی‌ (متوفی‌919؛ ص‌ 228) نیز جبر و مقابله‌ را به‌ همین‌ صورت‌ تعریف‌ کرده‌اند. با این‌ حال‌ ابن‌بنّای‌ مراکشی‌ (654ـ 721)، هرچند در کتاب‌ خود بخشی‌ را به‌ جبر و مقابله‌ به‌ معنای‌ متعارف‌ آن‌ اختصاص‌ داده‌، در جای‌ دیگری‌ واژة‌ «جبر» را به‌ «اصلاح‌» معنی‌ می‌کند و آن‌ را به‌ معنی‌ تقسیم‌ مقدار ثابت‌ به‌ ضریب‌ مجهول‌ در معادلة‌ ax = b می‌داند (ص‌ 56؛ نیز رجوع کنید بهقَلَصادی‌، ص‌ 151ـ152). اما قلصادی‌ (ص‌ 247)، جبر را به‌ همان‌ معنای‌ اصطلاحی‌ به‌کار برده‌ است‌. کاربرد ابن‌بنّا نیز هرچند با معنی‌ متعارف‌ جبر متفاوت‌ است‌، به‌نحوی‌ با ریشة‌ لغوی‌ این‌ کلمه‌ ارتباط‌ دارد. به‌ این‌ دلایل‌، نظر صلیبا (1983) که‌ این‌ واژه‌ را مشتق‌ از ریشة‌ جَبَرَ به‌ معنای‌ مجبور کردن‌ و ناگزیر کردن‌ می‌داند و غرض‌ خوارزمی‌ را از آن‌ «بیرون‌ کشیدن‌» ریشة‌ یک‌ معادله‌ می‌شمارد پذیرفتنی‌ نمی‌نماید.جایگاه‌ جبر در میان‌ علوم‌. در طبقه‌بندیهای‌ یونانیان‌ از علوم‌، نام‌ علم‌ جبر جزء علوم‌ریاضی‌ نیامده‌است‌. نخستین‌ کسی‌ که‌ جبر را در طبقه‌بندی‌ علوم‌ داخل‌ کرده‌ فارابی‌ است‌ که‌ در احصاءالعلوم‌ خود بخشی‌ را به‌ «علم‌الحیل‌» یا «علوم‌ الحیل‌» اختصاص‌ داده‌ است‌. این‌ علوم‌، که‌ فارابی‌ در تعریف‌ آنها می‌گوید: «علمِ شیوة‌ چاره‌جویی‌ است‌ برای‌ کاربرد آنچه‌ وجودشان‌ در ریاضیات‌ با برهان‌ ثابت‌ شده‌ در اجسام‌طبیعی‌ و ایجاد و وضع‌ آنها بالفعل‌» (ص‌88)، جز «علم‌حیل‌» به‌معنای‌ متعارف‌ آن‌ و نیز «علم‌ آینه‌های‌ سوزان‌»، که‌ جزء «حیل‌ هندسی‌» هستند، دستة‌ دیگری‌ از علوم‌ را نیز دربرمی‌گیرد که‌ فارابی‌ آنها را «حیل‌ عددی‌» می‌نامدو شامل‌ «علمی‌ است‌ در میان‌ مردم‌ زمان‌ ما به‌ جبر و مقابله‌ معروف‌ است‌» (ص‌89). از اینکه‌ فارابی‌جبر را جزء علوم‌ حیل‌ آورده‌، معلوم‌ می‌شود که‌ از نظر او هنوز جبر نه‌ علمی‌ برهانی‌ بلکه‌ مجموعه‌ای‌ از شگردها برای‌ استخراج‌ ریشه‌های‌ معادلات‌ شمرده‌ می‌شده‌ است‌. این‌ دیدگاه‌ به‌ نحوی‌ در طبقه‌بندی‌ ابن‌سینا از علوم‌ هم‌ منعکس‌ شده‌ است‌. وی‌ در رسالة‌ فی‌اقسام‌ العلوم‌ العقلیة‌ (ص‌122) جبر را جزء «اجزاء فرعی‌ (الاقسام‌ الفرعیة‌) ریاضیات‌» آورده‌ و آن‌ را، در کنار «عمل‌ جمع‌ و تفریق‌ بر حَسَب‌ حساب‌ هندی‌» یکی‌از «شاخه‌های‌ علم‌ اعداد (من‌ فروع‌ علم‌ العدد)» شمرده‌ است‌. در تقسیم‌بندی‌ ابن‌سینا، علم‌ «حیل‌ هندسی‌»، در کنار «علم‌ اثقال‌، صناعت‌ اوزان‌ و موازین‌، مناظر و مرایا و آینه‌ها» جزء فروع‌ علم‌ هندسه‌ شمرده‌ شده‌ است‌. همین‌ طبقه‌بندی‌ در رساله‌ای‌ از خواجه‌نصیر طوسی‌ نیز بعینه‌ تکرار شده‌ است‌ ( رجوع کنید بهنصیرالدین‌ طوسی‌، 1359 ش‌، ص‌ 527). بدین‌ترتیب‌، در تقسیم‌بندی‌ ابن‌سینا آنچه‌ فارابی‌ «علوم‌ حیل‌» نام‌ داده‌، با تفصیل‌ بیشتر، «اقسام‌ فرعی‌ علوم‌ ریاضی‌» نام‌ گرفته‌ است‌. با این‌ حال‌، ابن‌سینا برخی‌ از این‌ رشته‌ها را «علم‌» (علم‌ المساحة‌، علم‌الحیل‌ المتحرکة‌، علم‌ نقل‌ المیاه‌) و برخی‌ دیگر، از جمله‌ جبر، را «عمل‌» می‌نامد. ظاهراً خصوصیت‌ مشترک‌ دستة‌اخیر عملی‌ بودن‌ آنهاست‌. ابن‌سینا در تقسیم‌بندیهای‌ دیگری‌ که‌ از علوم‌ کرده‌ است‌ این‌ علوم‌ فرعی‌ را ذکر نمی‌کند ( رجوع کنید به منطق‌المشرقیین‌ ، ص‌5 ـ 6، که‌ تصریح‌ می‌کند که‌ تنها علوم‌ اصلی‌ را ذکر کرده‌ است‌).در تعریف‌ کرجی‌ (قرن‌ چهارم‌ هجری‌ رجوع کنید به ادامة‌ مقاله‌)، جبر و مقابله‌ یکی‌ از روشهای‌ «حساب‌» است‌، اما تعریف‌ کرجی‌ از حساب‌ بسیار کلی‌تر از مفهوم‌ حساب‌ به‌ عنوان‌ مجموعه‌ای‌ از روشها و «عبارت‌ است‌ از به‌ دست‌ آوردن‌ مجهولات‌ از معلومات‌» (کرجی‌، 1964، ص‌ 7؛ همو، 1406، ص‌ 97)، این‌ تعریف‌ خود در واقع‌ از مفهوم‌ جدید جبر متأثر است‌. تعریفی‌ که‌ کرجی‌ از روشهای‌ حساب‌ به‌ دست‌ می‌دهد هم‌ حل‌ معادلات‌ سیّال‌ و معیّن‌ را شامل‌ می‌شود و هم‌ حساب‌ چند جمله‌ایها را.خیام‌ در رسالة‌ جبر و مقابلة‌ خود (ص‌ 7، ترجمة‌ فارسی‌، ص‌ 159؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهاب‌زاده‌، ص‌ 117)، «صناعت‌ جبر و مقابله‌» را یکی‌ از «مفاهیم‌ ریاضی‌» می‌شمارد «که‌ در بخشی‌ از فلسفه‌ که‌ به‌ ریاضی‌ معروف‌ است‌، بدان‌ نیاز می‌افتد». هرچند خیام‌ در این‌ عبارت‌ در صدد به‌ دست‌ دادن‌ تعریفی‌ جامع‌ و مانع‌ از جبر نیست‌، اما از نوشتة‌ او چنین‌ استفاده‌ می‌شود که‌ جبر اولاً «صناعت‌» است‌ و ثانیاً جزء علوم‌ ریاضی‌ است‌. نتیجة‌ کلی‌ سخن‌ خیام‌ این‌ است‌ که‌ جبر در طبقه‌بندی‌ کلی‌ علوم‌ فلسفی‌ قرار می‌گیرد، هرچند او جایگاه‌ آن‌ را در میان‌ این‌ علوم‌ مشخص‌ نمی‌کند. وی‌ همچنین‌ در تعریف‌ جبر می‌نویسد که‌ «فن‌ جبر و مقابله‌ فنی‌ علمی‌ است‌ که‌ موضوع‌ آن‌ عدد مطلق‌ و مقادیر قابل‌ سنجش‌ است‌ از آن‌ جهت‌ که‌ مجهول‌اند ولی‌ مرتبط‌ با چیز معلومی‌ هستند که‌ به‌ وسیلة‌ آن‌ می‌توان‌ آنها را استخراج‌ کرد» (ص‌ 8 ـ9، ترجمة‌ فارسی‌، ص‌161؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهاب‌زاده‌، ص‌ 120ـ 121). بنابراین‌، در نظر خیام‌، مقادیر عددی‌ و مقادیر هندسی‌ هر دو می‌توانند ریشة‌ معادلات‌ جبری‌ باشند. خیام‌ در رسالة‌ دیگر خود به‌نام‌ فی‌قسمة‌ ربع‌الدائرة‌ (این‌ رساله‌، با عنوان‌ رسالة‌ لابی‌ الفتح‌ عمربن‌ ابراهیم‌ الخیامی‌ به‌چاپ‌ رسیده‌ است‌) نیز تلویحاً با این‌ فکر که‌ جبر مجموعه‌ای‌ از شگردها («حیله‌»، توجه‌ کنید که‌ در تقسیم‌بندی‌ فارابی‌ جبر جزء «علوم‌ الحیل‌» قرار می‌گیرد) باشد مخالفت‌ می‌کند. خیام‌ می‌نویسد: «و آنکه‌ گمان‌ برده‌ است‌ که‌ جبر حیله‌ای‌ [ شگردی‌ ] برای‌ استخراج‌ اعداد مجهول‌ است‌، امر نامعقولی‌ را گمان‌ برده‌است‌. ... جبر و مقابله‌ اموری‌ هندسی‌ است‌ که‌ به‌وسیلة‌ اَشکال‌ پنجم‌ و ششم‌ مقالة‌ دوم‌ [ اصول‌ اقلیدس‌ ] مبرهن‌ می‌شود» (ص‌65ـ66، ترجمة‌ فارسی‌، ص‌ 264؛ نیز رجوع کنید بهراشد و وهاب‌زاده‌، ص‌251). به‌ این‌ ترتیب‌، جبر و مقابله‌، از نظر خیام‌، علمی‌هندسی‌ است‌ و چون‌ هندسی‌است‌ بُرهانی‌ نیز هست‌. این‌ اختلاف‌ در جایگاه‌ جبر به‌ دلیل‌ تازگی‌ این‌ علم‌ و دو تصوری‌ است‌ که‌ از آغاز این‌ علم‌ به‌موازات‌ هم‌ وجود داشته‌ است‌.در طبقه‌بندیهای‌ متأخر (مثلاً حاجی‌خلیفه‌، ج‌ 1، ستون‌ 578) علم‌ جبر و مقابله‌ «از فروع‌ علم‌ حساب‌» شمرده‌ شده‌ است‌. اما باید توجه‌ داشت‌ که‌ این‌ طبقه‌بندیها به‌ دورانی‌ تعلق‌ دارند که‌ دستاوردهای‌ بزرگ‌ علم‌ جبر دوران‌ اسلامی‌ فراموش‌ شده‌ و از آن‌ تقریباً چیزی‌ جز حل‌ شش‌ دسته‌ معادلة‌ خوارزمی‌ باقی‌ نمانده‌ بود.پیشینة‌ علم‌ جبر. مسائلی‌که‌ یافتن‌ مقدار مجهول‌ در آنها به‌ حل‌ معادلات‌ جبری‌ درجة‌ اول‌ و دوم‌، و گاه‌ به‌ حل‌ دستگاهی‌ از معادلات‌، منجر می‌شود، از گذشتة‌ بسیار دور در تمدنهای‌ گوناگون‌ شناخته‌ بوده‌ است‌ و برخی‌ از مورخان‌ مانند بارتل‌ وان‌ در واردن‌ ریشة‌ این‌ مسائل‌ را به‌ دورانهای‌ پیش‌ از تاریخ‌ می‌رسانند ( رجوع کنید بهواردن‌، 1983). مصریان‌باستان‌ با دستور (الگوریتم‌) حل‌ معادلات‌ درجة‌ اول‌ آشنا بودند و بابلیها، از حدود 1700 پیش‌ از میلاد، نه‌ تنها راه‌حل‌ معادلات‌ درجة‌ اول‌ودوم‌ را می‌شناختند (نویگه‌باور ، ص‌40ـ42)، بلکه‌ برخی‌ از معادلات‌ از درجات‌ بالاتر، و حتی‌ حالات‌ خاصی‌ از معادلات‌ درجة‌ هشتم‌، را حل‌ می‌کردند (همان‌، ص‌ 48). با این‌ حال‌، آنچه‌ از این‌ تمدنها به‌ دست‌ ما رسیده‌، فقط‌ مجموعه‌هایی‌ از مسائل‌ عددی‌ است‌. راه‌حلها، هرچند در مورد معادلات‌ درجة‌ اول‌ و دوم‌ کلیت‌ دارند، از طریق‌ مسائل‌ عددی‌ خاص‌ بیان‌ می‌شوند و معلوم‌ نیست‌ به‌ چه‌ طریق‌ به‌ دست‌ آمده‌اند و در مسائلی‌ که‌ درجة‌ آنها از دو بیشتر است‌، دستورهای‌ حل‌ معادلات‌ تنها در موارد خاص‌ کاربرد دارند.از عصر زرین‌ ریاضیات‌ یونانی‌ (قرنهای‌ پنجم‌ و چهارم‌ و سوم‌ پیش‌ از میلاد)، هیچ‌ اثری‌ در زمینة‌ جبر به‌ دست‌ ما نرسیده‌ است‌. به‌ نظر می‌آید که‌ علاقة‌ یونانیان‌ به‌ برهان‌ دقیق‌، و نیز کشف‌ کمیات‌ ناهمسنجه‌ ، توجه‌ ریاضیدانان‌ یونانی‌ را یکسره‌ به‌ هندسه‌ معطوف‌ کرده‌ بوده‌ است‌. در فلسفة‌ یونانی‌، به‌ صورتی‌ که‌ در آثار ارسطو آمده‌، و تأثیر آن‌ در آثار ریاضیدانان‌ یونانی‌ چون‌ اقلیدس‌ و ارشمیدس‌ و آپولونیوس‌ دیده‌ میشود، کمیتها به‌ دو دستة‌ کاملاً متمایز تقسیم‌ می‌شوند: اعداد، که‌ منظور از آن‌ اعداد طبیعی‌ است‌ (یعنی‌ مضربهای‌ واحد؛ خودِ واحد تجزیه‌ناپذیر محسوب‌ می‌شود) و مقادیر، که‌ کمیّات‌ هندسی‌ (طول‌ و سطح‌ و حجم‌)اند. مفهوم‌ کلی‌ «عدد حقیقی‌» (شامل‌ اعداد گویا و گُنگ‌) بی‌معنی‌ است‌، اعداد گویا (کسرها) به‌ صورت‌ «نسبت‌»هایی‌ میان‌ اعداد طبیعی‌ تعریف‌ می‌شوند و موجوداتی‌ که‌ امروزه‌ عدد گنگ‌ می‌نامیم‌ با پاره‌خط‌، و نسبت‌ میان‌ آنها با نسبت‌ میان‌ پاره‌خطها، نمایش‌ داده‌ می‌شوند. با این‌ حال‌، وجود برخی‌ روشها در کتاب‌ مخروطات‌ آپولونیوس‌ (قرن‌ سوم‌ پیش‌ از میلاد) و برخی‌ از قضایا در مقالات‌ دوم‌ و ششم‌ و دهم‌ کتاب‌ اصول‌ اقلیدس‌ (تألیف‌ شده‌ در حدود 300 پیش‌ از میلاد) گروهی‌ از مورخان‌ را معتقد کرده‌ است‌ که‌ یونانیان‌ از نوعی‌ جبر هندسی‌ استفاده‌ می‌کرده‌اند. اصطلاح‌ «جبر هندسی‌» را نخستین‌ بار ریاضیدان‌ دانمارکی‌ زویتن‌ در کتاب‌ خود به‌ نام‌ > نظریة‌ مقاطع‌ مخروطی‌ در دوران‌ باستان‌ < ابداع‌ کرده‌ است‌. زویتن‌ دریافت‌ که‌ در کتاب‌ مخروطات‌ آپولونیوس‌، خواص‌ اصلی‌ مقاطع‌ مخروطی‌ از راه‌ عملیاتی‌ بر روی‌ پاره‌خطها از یک‌ سو، و سطوح‌ از سوی‌ دیگر، بیان‌ شده‌ است‌ که‌ همان‌ خواص‌ جمعی‌ و ضربی‌ را دارند که‌ امروزه‌ در کتابهای‌ جبر آموخته‌ می‌شود (واردن‌، ص‌ 75). مفهوم‌ جبر هندسی‌ را با مثالهایی‌ از کتاب‌ اصول‌ اقلیدس‌ بهتر می‌توان‌ توضیح‌ داد. مثلاً قضیة‌ اول‌ از مقالة‌ دوم‌ اصول‌ (ج‌ 1، ص‌ 375) به‌ این‌ صورت‌ است‌:هرگاه‌ دو خط‌ مستقیم‌ داشته‌ باشیم‌ و یکی‌ از آنها را به‌ تعداد دلخواهی‌ پاره‌خط‌ تقسیم‌ کنیم‌، مستطیلی‌ که‌ از دو خط‌ مستقیم‌ تشکیل‌ شود، برابر با مجموع‌ مستطیلهایی‌ است‌ که‌ از پاره‌خط‌ دیگر و هریک‌ از قطعات‌ تشکیل‌ می‌شود.اگر قطعات‌ پاره‌خط‌ اصلی‌ را به‌ b و c و... و پاره‌خط‌ دیگر را به‌ a نمایش‌ دهیم‌، این‌ قضیه‌ خاصیت‌ پخش‌پذیری‌ جمع‌ نسبت‌ به‌ ضرب‌ را بیان‌ می‌کند (شکل‌ 1):a (b + c +...) = ab + ac + ...همچنین‌ قضیة‌ چهارم‌ از مقالة‌ دوم‌ اصول‌ (ج‌ 1، ص‌ 379) می‌گوید که‌ اگر پاره‌خطی‌ را به‌ دو بخش‌ تقسیم‌ کنیم‌، مربعی‌که‌ بر روی‌ کل‌ پاره‌خط‌ ساخته‌ می‌شود مساوی‌ است‌ بامجموع‌ مربعهایی‌ که‌ بر روی‌ هریک‌ از دو بخش‌ ساخته‌ می‌شوند و دو مستطیلی‌ که‌ از دو بخش‌ به‌ دست‌ می‌آید. هرگاه‌ طول‌ دو پاره‌خط‌ را با نمادهای‌ a و b نمایش‌ دهیم‌، این‌ قضیه‌ با اتحاد جبری‌ ab 2 + 2 + b 2 = a 2 (a + b) معادل‌ است‌ (شکل‌ 2).مهم‌تر از این‌ دو، از لحاظ‌ تاریخ‌ علم‌ جبر، قضیة‌ پنجم‌ از مقالة‌ دوم‌ کتاب‌ اصول‌ (ج‌ 1، ص‌ 382) است‌: هرگاه‌ پاره‌خط‌ AB را در نقطة‌ C به‌ دو قسمت‌ مساوی‌ AC و CB و در نقطة‌ D به‌ دو قسمت‌ نامساوی‌ AD و DB تقسیم‌ کنیم‌، مستطیلی‌ که‌ یک‌ ضلع‌ آن‌ AD و ضلع‌ دیگری‌ آن‌ DB باشد به‌ اضافة‌ مربعی‌ که‌ هر ضلع‌ آن‌ CD باشد مساوی‌ است‌ با مربعی‌ که‌ روی‌ CB (نصف‌ پاره‌خط‌ اصلی‌) ساخته‌ شود.این‌قضیه‌ بدین‌ معنی‌ است‌ که‌ در شکل‌ 3، مستطیل‌ AEDG به‌ اضافة‌ مربع‌ FGIJ مساوی‌است‌ با مربع‌ CBIK . چنانکه‌ در این‌ شکل‌ فرض‌ کنیم‌ که‌ AB = a و DB = x ، آنگاه‌ این‌ قضیه‌ به‌ معادلة‌ 2 = b 2 ax - x منجر می‌شود (همان‌، ج‌ 1، ص‌ 383). اما چنین‌ تعبیری‌ مستلزم‌ این‌ اعتقاد است‌ که‌ هر طولی‌ را می‌توان‌ با عددی‌ نمایش‌ داد، درحالی‌که‌ در سنّت‌ یونانی‌ هرچند هر عددی‌ را با طولی‌ نمایش‌ می‌دادند، معتقد نبودند که‌ در برابر هر طولی‌ هم‌ عددی‌ وجود داشته‌ باشد. همچنین‌ است‌ ترسیماتی‌ که‌ در قضایای‌ بیست‌ و هشتم‌ و بیست‌ و نهم‌ از مقالة‌ ششم‌ کتاب‌ اصول‌ (ج‌ 2، ص‌ 261ـ267) خواسته‌ شده‌ و معادل‌ با حل‌ یک‌ معادلة‌ درجة‌ دوم‌ است‌.به‌ همین‌ دلیل‌، چه‌ در اصول‌ اقلیدس‌ و چه‌ در مخروطات‌ آپولونیوس‌، مساحت‌ مستطیل‌ هیچ‌گاه‌ به‌ صورت‌ حاصل‌ ضرب‌ اضلاع‌ آن‌ نشان‌ داده‌ نمی‌شود، بلکه‌ مساحت‌ هر شکل‌ با مساحتی‌ دیگرسنجیده‌می‌شود.ازاین‌رو، هرچند آپولونیوس‌،در مخروطات‌ ، خواص‌ مقاطع‌ مخروطی‌ را از طریق‌ مفهومی‌ به‌نام‌ نشانه‌ بررسی‌ می‌کند که‌ به‌مفهوم‌ امروزیِ معادلة‌ مقطع‌ مخروطی‌ بسیار نزدیک‌ است‌، بااین‌حال‌، وی‌ همواره‌ نشانه‌ را به‌صورت‌ برابری‌ دو سطح‌ بیان‌ می‌کند. بنابراین‌، تعبیر جبری‌ قضایای‌ فوق‌ توجیهی‌ ندارد. همچنین‌، هرچند برخی‌ از ترسیمات‌ هندسی‌ مقالة‌ ششم‌ کتاب‌ اصول‌ نیز، هرگاه‌ به‌ زبان‌ نمادهای‌ جبری‌ ترجمه‌ شوند، به‌ حل‌ معادلاتی‌ از مرتبة‌ اول‌ و دوم‌ منجر می‌شوند، اما تعبیر جبری‌ این‌ قضایا نیز با همان‌ مشکل‌ پیشین‌ مواجه‌ است‌. همچنین‌ است‌ مقالة‌ دهم‌ اصول‌ ، که‌ بسیاری‌ از قضایای‌ پیچیدة‌ آن‌، به‌ زبان‌ جبری‌، معادل‌ با گویا کردن‌ اعداد گنگ‌ است‌. با این‌ حال‌، مسئلة‌ جبر هندسی‌ یونانی‌، و به‌ویژه‌ تعبیر مقالات‌ «جبری‌» کتاب‌ اصول‌ اقلیدس‌، در بین‌ مورخان‌ ریاضیات‌ همچنان‌ مورد بحث‌ است‌.در این‌ میان‌ یک‌ استثنای‌ مهم‌ وجود دارد و آن‌ کتاب‌ الحساب‌ دیوفانتوس‌ اسکندرانی‌ است‌. موضوع‌ این‌ کتاب‌ که‌ تاریخ‌ دقیق‌ تألیفش‌ معلوم‌ نیست‌ اما احتمالاً در قرن‌ سوم‌ میلادی‌ تألیف‌ شده‌ (هیث‌، ج‌ 2، ص‌ 448)، «لوژیستیک‌ یا شاخة‌ محاسباتی‌ حساب‌ است‌ که‌ در حل‌ مسائل‌ عملی‌ از آن‌ استفاده‌ می‌شود» ( زندگینامة‌ علمی‌ دانشوران‌ ، ج‌ 4، ص‌ 111). در ریاضیات‌ یونانی‌، «لوژیستیک‌» مجموعه‌ای‌ از فنون‌ محاسبه‌ بود و معمولاً در مقابل‌ «فن‌ حساب‌» قرار می‌گرفت‌ که‌ دانشی‌ برهانی‌ محسوب‌ می‌شد. کتاب‌ الحساب‌ در اصل‌ در هفت‌ مقاله‌ بوده‌ که‌ اصل‌ یونانی‌ مقالات‌ اول‌ تا سوم‌ و ترجمة‌ عربی‌ چهار مقالة‌ دیگر آن‌ در دست‌ است‌ ( رجوع کنید به دیوفانتوس‌ اسکندرانی‌، صناعة‌ الجبر ، مقدمة‌ راشد، ص‌ 8 ـ13)، و مجموعه‌ای‌ است‌ از مسائل‌ معیّن‌ (معادلات‌ یک‌ مجهولی‌ یا دستگاههایی‌ از معادلات‌ که‌ شمار مجهولات‌ آنها به‌تعداد معادلات‌ است‌) و نامعیّن‌ (سیال‌، معادله‌ یا دستگاههایی‌ از معادلات‌ که‌ شمار مجهولات‌ آنها بیش‌ از تعداد معادلات‌ است‌). دیوفانتوس‌ در تنظیم‌ این‌ معادلات‌ ترتیب‌ خاصی‌ را رعایت‌ نکرده‌ است‌. در مورد هر معادله‌ یا هر دستگاه‌ از معادلات‌، دیوفانتوس‌ راه‌حل‌ را عرضه‌ می‌کند و در مورد معادلات‌ سیال‌ جوابهای‌ گویا را به‌دست‌ می‌آورد و در این‌ کار غالباً به‌ تغییر متغیرهای‌ هوشمندانه‌ و روشهای‌ بدیع‌ برای‌ کاستن‌ از درجة‌ معادلات‌ متوسل‌ می‌شود ( زندگینامة‌ علمی‌ دانشوران‌ ، همانجا). گذشته‌ از این‌، دیوفانتوس‌ نامهایی‌ برای‌ توانهای‌ مختلف‌ اعداد ابداع‌ کرده‌ است‌ و نیز نخستین‌ نشانه‌های‌ مختصر نویسی‌ در جبر (انتخاب‌ برخی‌ از حروف‌ الفبای‌ یونانی‌ برای‌ نمایش‌ توانهای‌ مجهول‌) در کار او دیده‌ می‌شود. همچنین‌، دیوفانتوس‌ دو عمل‌ را تعریف‌ می‌کند که‌ برای‌ ساده‌ کردن‌ معادلات‌ انجام‌ می‌گیرد (واردن‌، ص‌ 98). یکی‌ ازاین‌دو عمل‌ بعدها در کتاب‌ خوارزمی‌ «جبر» و دیگری‌ «مقابله‌» نام‌ می‌گیرد ( د. اسلام‌ ، چاپ‌ دوم‌، ذیل‌ «الجبر و المقابله‌»).خوارزمی‌ و پیدایش‌ علم‌ جبر. نخستین‌ اثر مستقل‌ در جبر کتابی‌ است‌ از محمدبن‌موسی‌ خوارزمی‌ که‌ به‌ کتاب‌ المختصر فی‌ حساب‌ الجبر و المقابلة‌ معروف‌ است‌ (هرچند کلمة‌ «المختصر» در عنوان‌ آن‌ دیده‌ نمی‌شود) و در زمان‌ خلافت‌ مأمون‌ (بین‌ سالهای‌ 198 و 218) تألیف‌ شده‌ است‌ (خوارزمی‌، ص‌15). با اینکه‌ خوارزمی‌ (ص‌16) تصریح‌ می‌کند که‌ هدف‌ او نوشتن‌ کتابی‌ است‌ که‌ در مسائل‌ عملی‌ مربوط‌ به‌ تقسیم‌ میراث‌ و مسّاحی‌ و تجارت‌ به‌ کار آید، و بخشهایی‌ از کتاب‌ نیز به‌ این‌ گونه‌ مسائل‌ اختصاص‌ دارد، اهمیت‌ این‌ کتاب‌ عمدتاً در ارزش‌ نظری‌ آن‌ است‌. زیرا در این‌ کتاب‌ است‌ که‌ علم‌ جبر، به‌ صورت‌ یک‌ علم‌ مستقل‌ با واژگان‌ و مفاهیم‌ و روشهای‌ خاصی‌ که‌ آن‌ را از حساب‌ و هندسه‌ متمایز می‌کنند، متولد می‌شود. این‌ امر از روشی‌ که‌ خوارزمی‌ در معرفی‌ موجودات‌ جبری‌ به‌کار می‌برد پیداست‌.وی‌ (همانجا) نخست‌ عدد را، به‌ سنّت‌ یونانی‌، به‌ صورت‌ ترکیبی‌ از واحدها تعریف‌ می‌کند، سپس‌ سلسله‌های‌ زیر را می‌سازد:1، 2، 3،...، 9، 101+10 ،2+10 ، 3+10، ...، 9+10 ،10*21+10*2، 2+10*2،...، 9+10*2، 3*10...10*10 = 2 10....2* 2 10...10* 2 10 = 3 10آنگاه‌ خوارزمی‌، از روی‌ قیاس‌ با این‌ سلسله‌های‌ عددی‌، موجوداتی‌ را که‌ در علم‌ جبر به‌ کار می‌رود تعریف‌ می‌کند. این‌ موجودات‌ عبارت‌اند از شی‌ء (مقدار مجهول‌ یا x ) که‌ به‌ قیاس‌ با ضریب‌ بخش‌ دهگانی‌ (ضریب‌ 10) در یک‌ عدد دو رقمی‌ ساخته‌ می‌شود، مال‌ (توان‌ دوم‌ مقدار مجهول‌ یا 2 x ) که‌ به‌ قیاس‌ بخش‌ صدگانی‌ (ضریب‌ 2 10) در یک‌ عدد صدگانی‌ ساخته‌ می‌شود، و عدد یا درهم‌ (مقدار معلوم‌)، که‌ متناظر است‌ با ارقام‌ 1 تا 9 در سلسلة‌ اعداد دهگانی‌. به‌ این‌ ترتیب‌، موجودات‌ جبری‌ شکل‌ تعمیم‌یافته‌ای‌ از اعداد حسابی‌ به‌ نظر می‌آیند. یعنی‌ عدد مطلق‌ (مفرد) متناظر است‌ با یکی‌ از اعداد 1 تا 9 در دستگاه‌ دهگانی‌، تک‌جمله‌ای‌ مرتبة‌ اول‌ ax ( a و x اعداد گویای‌ مثبت‌اند) متناظر است‌ با عدد m 10، که‌ در آن‌ m یکی‌ از ارقام‌ 1 تا 9 است‌ و تک‌جمله‌ای‌ مرتبة‌ دوم‌ 2 ax متناظر است‌ با عدد m 2 10. سپس‌ خوارزمی‌ (ص‌ 17ـ 18) به‌ تقسیم‌بندی‌ معادلاتی‌ می‌پردازد که‌ از ترکیبهای‌ مختلف‌ این‌ موجودات‌ با یکدیگر حاصل‌می‌شود. به‌ این‌ طریق‌ شش‌ دسته‌ معادله‌، از درجات‌ اول‌ و دوم‌، به‌دست‌ می‌آید:1) شی‌ءهایی‌ مساوی‌ با عددی‌ است‌: ax = b ،2) مالی‌ مساوی‌ با عددی‌ است‌: = a 2 x ،3) مالی‌ مساوی‌ با شی‌ءهایی‌ است‌: = ax 2 x ،4) مالی‌ به‌ اضافة‌ شی‌ءهایی‌ مساوی‌ با عددی‌ است‌:+ ax = b 2 x ،5) مالی‌ به‌ اضافة‌ عددی‌ مساوی‌ شی‌ءهایی‌ است‌:+ a = bx 2 x ،6) مالی‌ مساوی‌ با شی‌ءهایی‌ به‌اضافة‌ عددی‌ است‌ := bx + a 2 x ،ضریبهای‌ a و b همواره‌ اکیداً مثبت‌ (مثبت‌ و مخالف‌ صفر)اند. در نمونه‌هایی‌ که‌ خوارزمی‌ ذکر می‌کند، همة‌ ضرایب‌ اعداد صحیح‌اند اما، چنانکه‌ خواهیم‌ دید، جانشینان‌ او معادلاتی‌ با ضرایب‌ کسری‌ و حتی‌ گنگ‌ را هم‌ در نظر می‌گیرند.خوارزمی‌ (ص‌ 18) معادلات‌ (4) تا (6) را مقترنات‌ نام‌ داده‌ است‌ و جبردانان‌ پس‌ از او معادلات‌ (1) تا (3) را مفردات‌ نامیده‌اند. این‌ شش‌ معادله‌، در واقع‌ تمامی‌ حالات‌ معادلات‌ درجة‌ اول‌ و دوم‌ را، به‌ شرط‌ مثبت‌ بودن‌ ضرایب‌، نشان‌ می‌دهند. چنانچه‌ معادله‌ای‌ به‌ صورتی‌ جز یکی‌ از این‌ شش‌ صورت‌ داده‌ شده‌ باشد، آن‌ را با یکی‌ از دو عمل‌ «جبر» یا «مقابله‌»، یا با هر دو عمل‌، به‌ یکی‌ از این‌ شش‌ صورت‌ نرمال‌ تبدیل‌ می‌کنیم‌. مثلاً معادلة‌ 6 = 4 + x 7 ـ 2 x از راه‌ «جبر» (افزودن‌ مقدار x 7 به‌ دو سوی‌ معادله‌) به‌صورت‌ 6 + x 7 = 4 + 2 x و از راه‌ مقابله‌ (حذف‌ مقدار 4 از دو سوی‌ معادله‌) به‌ صورت‌ 2 + x 7 = 2 x درمی‌آید که‌ نمونه‌ای‌ است‌ از معادلة‌ (6). همچنین‌ هرگاه‌ ضریب‌ 2 x عددی‌ مخالف‌ یک‌ باشد، با تقسیم‌ طرفین‌ معادله‌ به‌ این‌ عدد، معادله‌ به‌ صورت‌ نرمال‌ درمی‌آید.از این‌ معادلات‌، یکی‌ (شمارة‌ 1) از درجة‌ اول‌ و یکی‌ دیگر (شمارة‌ 3) قابل‌ تبدیل‌ به‌ معادلة‌ درجة‌ اول‌ است‌. راه‌حل‌ این‌ دو معادله‌ بدیهی‌ است‌ (خوارزمی‌ البته‌ ریشة‌ صفر را در مورد معادلة‌ شمارة‌3 به‌ حساب‌ نمی‌آورد) و حل‌ معادلة‌ شمارة‌ 2 به‌ استخراج‌ جذر یک‌عدد منجر می‌شود. در مورد سه‌معادلة‌ دیگر، خوارزمی‌ دستور (الگوریتم‌) کلی‌ حل‌ معادله‌ را به‌ دست‌ می‌دهد، منتهی‌ در مورد هر معادله‌ راه‌ استفاده‌ از این‌ الگوریتم‌ را با استفاده‌ از یک‌ مثال‌ عددی‌ که‌ آن‌ را «الگو» («باب‌») می‌نامد نشان‌ می‌دهد. به‌ عنوان‌ مثال‌، دستور حل‌ معادلة‌ (4) به‌ صورت‌ زیر است‌: تعداد شی‌ءها (ضریب‌ x یا a ) را نصف‌ می‌کنیم‌، حاصل‌ را در خودش‌ ضرب‌ می‌کنیم‌، مقدار به‌ دست‌ آمده‌ را با تعداد درهمها (b) جمع‌ می‌کنیم‌، از مقداری‌ که‌ به‌این‌ طریق‌ به‌دست‌ می‌آید جذر می‌گیریم‌، و از حاصل‌، نصف‌ تعداد شی‌ءها را کم‌ می‌کنیم‌. عدد به‌دست‌ آمده‌ مقدار مجهول‌ است‌ ( رجوع کنید به همان‌، ص‌ 19). به‌ عبارت‌ دیگر، a 2 1 - 2 a 4 1 b + ¡ x = راه‌حل‌ خوارزمی‌، در واقع‌ عبارت‌ است‌ از تبدیل‌ کردن‌ عبارت‌ دست‌ چپ‌ معادله‌ به‌ یک‌ مربع‌ کامل‌ از راه‌ افزودن‌ مقدار 2 a 4 1 به‌ دو طرف‌ معادله‌. به‌ عبارت‌ دیگر، الگوریتم‌ خوارزمی‌ را به‌ این‌ صورت‌ می‌توان‌ نشان‌ داد:+ ax = b 2 xذ2 a 4 1 = b + 2 a) 2 1 + ax + ( 2 xذ2 a 4 1 = b + 2 a) 2 1 (x +ذ2 a 4 1 b + ¡ a = 2 1 x +ذa 2 1 - 2 a 4 1 b+ ¡ x =این‌معادله‌همواره‌ یک‌جواب‌ مثبت‌دارد. پیداست‌که‌ خوارزمی‌ در این‌ الگوریتم‌ تلویحاً از اتحاد pq 2 + 2 + q 2 = p 2 (p + q) استفاده‌ کرده‌ است‌. در مورد معادلات‌ (5) و (6) روش‌ خوارزمی‌ اساساً یکسان‌ است‌، جز اینکه‌ در مورد معادلة‌ + a = bx 2 x قید می‌کند که‌ معادله‌ ممکن‌ است‌ دو جواب‌ مثبت‌ داشته‌ باشد یا جواب‌ نداشته‌ باشد (ص‌ 21).جبر دو جمله‌ایها. بخش‌ دیگری‌ از کتاب‌ خوارزمی‌ (ص‌ 27ـ 34) که‌ تنها در چند دهة‌ اخیر مورد توجه‌ قرار گرفته‌ و با این‌ حال‌ از لحاظ‌ تحول‌ علم‌ جبر بسیار حائزاهمیت‌ است‌، بخشی‌ است‌ که‌ به‌بیان‌ سه‌ عمل‌اصلی‌ (جمع‌، تفریق‌ و ضرب‌) بر روی‌ دوجمله‌ایها اختصاص‌ دارد. خوارزمی‌ ابتدا به‌ بیان‌ قواعدی‌ در مورد جمع‌ و تفریق‌ یک‌ جمله‌ایها می‌پردازد که‌ معادل‌ است‌ با دستورهای‌ax + bx = (a+b)xو) ax - bx = (a - b)x به‌ شرط‌ (a> bبرای‌ بیان‌ قواعد ضرب‌ دو جمله‌ایها، وی‌ نخست‌ (ص‌ 27ـ 28) قاعدة‌ ضرب‌ دو عدد دو رقمی‌ در مبنای‌ 10 را به‌ صورت‌ زیر شرح‌ می‌دهد :c+ d)= 10 a + b). ) 10 = ( 10 cd . 10 ab+ bd 10 + bc. 10 + ac. 2 10 ac.سپس‌ (ص‌ 28ـ30) قاعدة‌ ضرب‌ دو دو جمله‌ای‌ را بیان‌ می‌کند:+ ad . x + bc . x + bd 2 (ax + b) . (cx + d) = ac . x+ bc . x - ad . x - bd 2 (ax + b) . (cx - d) = ac . x- ad . x - bc . x + bd 2 (ax - b) . (cx - d) = ac . xاز شیوة‌ بیان‌ خوارزمی‌ پیداست‌ که‌ وی‌ یک‌ دو جمله‌ای‌ را به‌ صورت‌ یک‌ عدد دورقمی‌ در مبنای‌ x در نظر می‌گیرد، و آنگاه‌ قواعد ضرب‌ دو عدد دو رقمی‌ در مبنای‌ 10 را در بارة‌ این‌ عدد دو رقمی‌ در مبنای‌ x به‌ کار می‌برد:x . cd x (ax + b). (cx + d) = abهمچنین‌ در این‌ روابط‌، خوارزمی‌، به‌ طور ضمنی‌، قواعدِ(+b) = + (ab) * (+a)(-b) = - (ab) * (+a)(+b) = - (ab) * (-a)(-b) = + (ab) * (-a)را، که‌ در آن‌ 0 a,b> ، به‌ دست‌ می‌دهد. با این‌ حال‌، مفهوم‌ عدد منفی‌ در کتاب‌ خوارزمی‌ وجود ندارد.بدین‌ترتیب‌، برخلاف‌ ریاضیات‌ بابلی‌ و «جبرِ هندسی‌» یونانی‌، که‌ برای‌ حل‌ چند حالت‌ خاص‌ به‌ «انواع‌ اندیشه‌های‌ بدیع‌» متوسل‌ می‌شدند، در کتاب‌ جبر و مقابلة‌ خوارزمی‌، همة‌ انواع‌ معادلات‌ به‌ «چند نوع‌ استاندارد تحویل‌ می‌شود که‌ به‌ کمک‌ چند قاعده‌ قابل‌ حل‌اند» ( رجوع کنید به گاندز ، ص‌ 542). پیش‌ از خوارزمی‌، استخراج‌ مجهول‌ از راه‌ عملیات‌ حسابی‌ بر روی‌ داده‌های‌ عددیِ مسئله‌ انجام‌ می‌گرفت‌، اما خوارزمی‌، با معرفی‌ دو جمله‌ایهای‌ جبری‌ و عملیات‌ بر روی‌ آنها، در واقع‌ موجودات‌ جدیدی‌ را معرفی‌ می‌کند که‌ عدد نیستند ولی‌ از روی‌ الگوی‌ اعداد ساخته‌ می‌شوند. البته‌ خوارزمی‌ این‌ موجودات‌ را تعریف‌ دقیق‌ نمی‌کند. «بدین‌طریق‌، جبر در آغاز، به‌ صورت‌ نوعی‌ حساب‌ ظاهر می‌شود که‌ از «لوژیستیک‌» کلی‌تر است‌ ــ زیرا به‌ کمک‌ جبر می‌توان‌ مسائل‌ «لوژیستیک‌» را دقیق‌تر حل‌ کرد ــ و نیز از «هندسة‌ متریک‌ هم‌ کلی‌تر است‌» (راشد، 1997، ص‌ 34). این‌ کار خوارزمی‌ سرآغاز جریانی‌ است‌ که‌ رشدی‌ راشد (1984، ص‌ 30) آن‌ را «حسابی‌ کردن‌ جبر» می‌نامد. بدین‌ معنی‌ که‌ این‌ علم‌ به‌ صورت‌ نوعی‌ حسابِ تعمیم‌ یافته‌ و کلی‌ ظاهر می‌شود که‌ قواعد خود را از روی‌ قواعد حساب‌ می‌سازد. این‌ کار بعدها در مکتب‌ کَرَجی‌ به‌ اوج‌ خود می‌رسد. از سوی‌ دیگر، از همان‌ کتاب‌ خوارزمی‌، کوششی‌ برای‌ آنکه‌ این‌ قواعد به‌ کمک‌ ترسیمات‌ هندسی‌ بُرهانی‌ شوند، دیده‌ می‌شود.توجیه‌ هندسی‌ الگوریتمها. بخشی‌ از کتاب‌ خوارزمی‌ (ص‌ 21ـ 27) به‌ توجیه‌ هندسی‌ دستورهای‌ حل‌ معادلات‌ (4) تا (6) اختصاص‌ دارد. این‌ کار، هرچند آن‌ را نمی‌توان‌ اثبات‌ به‌ معنای‌ متعارف‌ نامید، به‌هرحال‌ کوششی‌ است‌ برای‌ آنکه‌ الگوریتم‌ از راه‌ رسم‌ یک‌ شکل‌ هندسی‌ تأییدشود. خوارزمی‌ این‌ شکلهارا «علتی‌» می‌نامدکه‌ «دلیل‌نصف‌کردنِ ضریب‌مجهول‌را بیان‌می‌کند». شکل‌4 استدلال‌خوارزمی‌رادرموردمعادلة‌شمارة‌4 نشان‌می‌دهد(ص‌22):در این‌ شکل‌، هر ضلع‌ مربع‌ ABCD مساوی‌ است‌ با مقدار مجهول‌ x و مساحت‌ این‌ مربع‌ مساوی‌ است‌ با 2 x . ضلعهای‌ هریک‌ از مستطیلهای‌ ABEF و BCGH و CDIJ و DAKL برابرند با x و 4 a . بنابراین‌، مجموع‌ مربع‌ میانی‌ و چهار مستطیل‌ برابر است‌ با + ax 2 x ، که‌ طبق‌ فرض‌ مسئله‌ برابر است‌ با b . اگر به‌ این‌ مجموع‌ چهار مربع‌ گوشه‌ای‌ را اضافه‌ کنیم‌، مربع‌ بزرگِ حاصل‌ از یک‌ سو برابر است‌ با 4 2 + ax + a 2 x یا 2 ) 2 (x +a و از سوی‌ دیگر برابر است‌ با 2 a 4 1 b + . بنابراین‌2 a 4 1 = b + 2 ) 2 (x + a2 a 4 1 b + ¡ = 2 x + a2 - a 2 a 4 1 b+ ¡ x =جبر از خوارزمی‌ تا کرجی‌. اهمیت‌ کتاب‌ جبر و مقابلة‌ خوارزمی‌، به‌رغم‌ حجم‌ کم‌ وسادگی‌ ظاهری‌ مطالب‌ آن‌، در همان‌ قرن‌ سوم‌ شناخته‌ شد. نشانة‌ این‌ توجه‌ رساله‌هایی‌ است‌ که‌ در قرنهای‌ سوم‌ و چهارم‌ در این‌ موضوع‌ نوشته‌ شده‌ است‌ که‌ هرچند بسیاری‌ از آنها از میان‌ رفته‌، اما بعضی‌ از آنها که‌ به‌ دست‌ ما رسیده‌ بر تأثیر خوارزمی‌ و کتاب‌ او گواهی‌ می‌دهند. برخی‌ از این‌ آثار از دست‌ رفته‌ عنوان‌ «الجبر و المقابلة‌» دارند، مانند کتاب‌ الجبر و المقابلة‌ ابوحنیفه‌ دینوری‌ (متوفی‌ 290؛ ابن‌ندیم‌، ص‌ 86؛ حاجی‌خلیفه‌، ج‌ 2، ستون‌ 1407) و نیز کتاب‌ احمدبن‌ محمدبن‌ طیّب‌ سرخسی‌ (متوفی‌286؛ رجوع کنید به حاجی‌خلیفه‌، همانجا) و برخی‌ دیگر شرح‌ بر جبر و مقابلة‌ خوارزمی‌اند، مانند شرح‌ الجبر و المقابلة‌ للخوارزمی‌ از سنان‌بن‌ فتحِ حرانی‌ * (ابن‌ندیم‌، ص‌ 339ـ340). در واقع‌ از سنان‌بن‌ فتح‌ رساله‌ای‌ در جبر، به‌ نام‌ کتابٌ فیه‌ الکعبُ و المالُ و الاعدادُ المتناسبة‌ ، باقی‌ مانده‌ (راشد، 1997، ص‌ 31، پانویس‌ 4)، اما معلوم‌ نیست‌ که‌ این‌ رساله‌ همان‌ شرح‌ کتاب‌ خوارزمی‌ باشد. در این‌ رساله‌ معادلاتی‌ که‌ شامل‌ جمله‌های‌ p 2 n+ ax و n+p bx و n cx هستند به‌ معادلات‌ درجة‌ دوم‌ تبدیل‌ شده‌اند (انبوبا، ص‌ 78ـ79) و نیز شرح‌ کتاب‌ محمدبن‌ موسی‌ الخوارزمی‌ فی‌ الجبر از عبداللّه‌بن‌ حسین‌ صیدنانی‌ (ابن‌ندیم‌، ص‌ 338)، و تفسیر کتاب‌ الخوارزمی‌ فی‌ الجبر و المقابلة‌ از ابوالوفای‌ بوزجانی‌ * (همان‌، ص‌ 341). غالب‌ این‌ آثار در همان‌ قرن‌ سوم‌ و اثر اخیر پیش‌ از سال‌ 377 که‌ سال‌ تألیف‌ نهایی‌ الفهرست‌ ابن‌ندیم‌ است‌ نوشته‌ شده‌اند.در الفهرست‌ ابن‌ندیم‌ (ص‌ 334) کتابی‌ به‌ نام‌ کتاب‌ الجبر و المقابلة‌ به‌ سَنَد (یاسِنْد)بن‌ علی‌، ریاضیدان‌ معاصر خوارزمی‌، نسبت‌ داده‌ شده‌ است‌، اما چون‌ ابن‌ندیم‌ به‌ سندبن‌ علی‌ * کتابی‌ هم‌ به‌ نام‌ کتاب‌ الحساب‌ الهندی‌ نسبت‌ می‌دهد (همانجا)، این‌ احتمال‌ هست‌ که‌ زندگینامة‌ او با زندگینامة‌ خوارزمی‌، که‌ در الفهرست‌ درست‌ پیش‌ از سندبن‌ علی‌ آمده‌ ( رجوع کنید به ص‌ 333)، در استنساخ‌ کتاب‌ الفهرست‌ درهم‌ آمیخته‌ و برخی‌ از آثار خوارزمی‌ جزء آثار سندبن‌ علی‌ آمده‌ باشد ( رجوع کنید به سوتر ، ص‌13ـ 14؛ نیز رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 274ـ275)، به‌ویژه‌ که‌ در نسخ‌ موجود الفهرست‌ هیچ‌یک‌ از دو کتاب‌ الحساب‌ الهندی‌ و کتاب‌ الجبر و المقابلة‌ ، که‌ به‌ گواهی‌ منابع‌ دیگر مسلّماً از خوارزمی‌ است‌، جزء آثار خوارزمی‌ ذکر نشده‌ است‌. سزگین‌ (ج‌5، ص‌243) به‌ نقل‌ از پل‌ سبَث‌ آورده‌ که‌ نسخه‌ای‌ از کتاب‌ سندبن‌ علی‌ در حلب‌ موجود بوده‌ است‌. اما ممکن‌ است‌ این‌ قول‌، مانند پاره‌ای‌ دیگر از گفته‌های‌ سبث‌، شتابزده‌ و بر پایة‌ وارسی‌ ناقص‌ نسخه‌ باشد. به‌ هر حال‌، این‌ نسخه‌ اکنون‌ ظاهراً موجود نیست‌.از میان‌ آثار جبری‌ بازمانده‌ از این‌ دوران‌، برخی‌ که‌ اندکی‌ پس‌ از زمان‌ خوارزمی‌ تألیف‌ شده‌ است‌ بر کوشش‌ ریاضیدانان‌ آن‌ زمان‌ برای‌ تکمیل‌ کار خوارزمی‌ دلالت‌ دارند. ریاضیدانی‌ به‌ نام‌ عبدالحمیدبن‌ واسع‌ ابن‌ترک‌ ختلی‌ (یا جیلی‌، یا جبلی‌) رساله‌ای‌ در جبر تألیف‌ کرده‌ بوده‌ که‌ تنها بخشی‌ از آن‌ که‌ به‌ اثبات‌ هندسی‌ الگوریتمها اختصاص‌ دارد به‌ دست‌ ما رسیده‌ است‌ ( رجوع کنید به صاییلی‌، 1985). در این‌ بخش‌، ابن‌ترک‌ برخی‌ از براهین‌ هندسی‌ خوارزمی‌ را دقیق‌تر کرده‌ و به‌ویژه‌ در بارة‌ وجود ریشه‌ (یعنی‌ ریشة‌ مثبت‌ برخی‌ از «مقترنات‌») بحث‌ کرده‌ و حالاتی‌ را که‌ معادله‌ ریشة‌ مثبت‌ ندارد مشخص‌ کرده‌ است‌. به‌ روایت‌ حاجی‌خلیفه‌ (ج‌ 2، ستون‌ 1408) نوة‌ ابن‌ترک‌، به‌ نام‌ ابوبرزه‌، که‌ او هم‌ ریاضیدان‌ بوده‌ (ابن‌ندیم‌، ص‌ 339) مدعی‌ فضل‌ تقدم‌ نیای‌ خود بر خوارزمی‌ در ابداع‌ علم‌ جبر شده‌ بوده‌ و ابوکامل‌ شجاع‌بن‌ اَسلَم‌، در مقدمة‌ دو اثر خود، که‌ ظاهراً اکنون‌ از میان‌ رفته‌اند، این‌ ادعا را رده‌ کرده‌ بوده‌ است‌. آنچه‌ احتمال‌ تقدم‌ ابن‌ترک‌ را بر خوارزمی‌ کاهش‌ می‌دهد این‌ است‌ که‌ ابن‌ندیم‌ (ص‌ 339) ابوالفضل‌ عبدالحمیدبن‌ واسع‌بن‌ ترک‌ ختلی‌ را در زمرة‌ «الحُسّاب‌ و اصحاب‌الاعداد المُحدَثون‌»، و پس‌ از طبقة‌ خوارزمی‌، ذکر می‌کند. با این‌ حال‌ بلاذری‌ (متوفی‌ ح 279) از او با عبارت‌ «حَدَّثنی‌ عبدالحمیدبن‌ واسع‌ الختلی‌ الحاسب‌» روایت‌ می‌کند (1407، ص‌ 407). اما چون‌ بلاذری‌ از خوارزمی‌ هم‌ مستقیماً روایت‌ می‌کند ( رجوع کنید به 1398، ج‌ 3، ص‌ 264ـ265)، می‌توان‌ نتیجه‌ گرفت‌ که‌ ابن‌ترک‌ معاصر خوارزمی‌ و احیاناً کمی‌ از او جوان‌تر بوده‌ است‌ ( رجوع کنید به جیلی‌ * ، عبدالحمید). ریاضیدانان‌ دیگر، مانند سنان‌بن‌ فتح‌ نیز بر فضل‌ تقدم‌ خوارزمی‌ گواهی‌ داده‌اند (راشد، 1997، ص‌ 31، پانویس‌ 4).کوشش‌ برای‌ تعبیر هندسی‌ دقیق‌ معادلات‌ جبری‌ درجة‌ دوم‌ در رسالة‌ فی‌ تصحیح‌ مسائل‌الجبر بالبراهین‌الهندسیة‌ ( رجوع کنید بهلوکی‌ ، ص‌110ـ112؛ راشد، 1997، ص‌ 35) اثر ثابت‌بن‌ قرّة‌ حَرّانی‌ (221ـ 288) به‌صورت‌ جدّی‌تری‌ ادامه‌می‌یابد. واژة‌ «تصحیح‌» را در عنوان‌ این‌ رساله‌ باید به‌ معنای‌ «اثبات‌ صحت‌» یا اثبات‌ گرفت‌، و بنابراین‌ هدف‌ ثابت‌ این‌ است‌ که‌ نشان‌ دهد که‌ الگوریتمهایی‌ که‌ خوارزمی‌ برای‌ حل‌ معادلات‌ درجة‌ دوم‌ به‌ دست‌ داده‌ درست‌اند. اثباتهای‌ ثابت‌ هندسی‌ است‌، اما بر خلاف‌ خوارزمی‌ و ابن‌ترک‌ که‌ تعبیر خود را بر ترسیم‌ اشکال‌ هندسی‌ استوار می‌کنند، وی‌ مستقیماً از قضایای‌ پنجم‌ و ششم‌ مقالة‌ دوم‌ اصول‌ اقلیدس‌ استفاده‌ می‌کند و میان‌ طولهایی‌ که‌ در این‌ قضایا وارد می‌شوند و ضرایب‌ «مقترنات‌» تناظری‌ مستقیم‌ برقرار می‌کند.ابوکامل‌ شجاع‌بن‌ اَسلَم‌ حاسب‌ مصری‌، که‌ در نیمة‌ دوم‌ قرن‌ سوم‌ می‌زیسته‌ ( رجوع کنید به سزگین‌، ج‌ 5، ص‌ 227ـ281) گذشته‌ از کتابی‌ به‌نام‌ کمالُ الجبر و تمامُه‌ و الزیادةُ فی‌ اصولِه‌ (حاجی‌ خلیفه‌، ج‌ 2، ستون‌ 1407) که‌ ظاهراً از میان‌ رفته‌ است‌، کتابی‌ به‌ نام‌ الجبر و المقابلة‌ دارد که‌ تنها یک‌ نسخة‌ خطی‌ عربی‌ و یک‌ ترجمة‌ عبری‌ ( رجوع کنید به لوی‌ ، 1966) و یک‌ ترجمة‌ لاتینی‌ از آن‌ باقی‌ مانده‌ است‌. ابوکامل‌ در مقدمة‌ این‌ کتاب‌، انگار می‌خواهد به‌ ادعاهای‌ ابوبرزه‌ جواب‌ بدهد، خوارزمی‌ را نخستین‌ کسی‌ می‌داند که‌ در جبر و مقابله‌ کتابی‌ تألیف‌ کرده‌ و اقرار به‌ فضل‌ تقدم‌ او را وظیفة‌ همة‌ محاسبان‌ می‌داند. کتاب‌ ابوکامل‌ در سه‌ بخش‌ است‌. بخش‌ اول‌ به‌ بررسی‌ همان‌ معادلات‌ خوارزمی‌ اختصاص‌ دارد، با این‌ تفاوت‌ که‌ هریک‌ از مقترنات‌ را یک‌ بار برای‌ x و یک‌ بار برای‌ 2 x حل‌ می‌کند و در حل‌ هر معادله‌ حالات‌ ممکن‌ و ممتنع‌ (یعنی‌ حالتی‌ که‌ معادله‌ ریشة‌ مثبت‌ ندارد) و نیز حالتی‌ را که‌ معادله‌ فقط‌ یک‌ ریشه‌ (یعنی‌ ریشة‌ مضاعف‌) دارد، برحسب‌ مقدار ضرایب‌ مشخص‌ می‌کند. همچنین‌ ابوکامل‌ معادلاتی‌ با ضرایب‌ گنگ‌ را هم‌ در نظر می‌گیرد (ابوکامل‌، 1406 الف‌ ، مقدمة‌ هوخندایک‌، ص‌ 1ـ2). ابوکامل‌ در اثباتهای‌ هندسی‌ خود (1406 الف‌ ، ص‌10) نیز صراحتاً از دو قضیة‌ مقالة‌ دوم‌ اصول‌ اقلیدس‌ استفاده‌ می‌کند و، مانند خوارزمی‌، این‌ قضایا را «علت‌» درستی‌ الگوریتم‌ موردنظر می‌خواند و می‌نویسد (ص‌ 7): «ما علت‌ این‌ [ الگوریتمها ] را با قضایای‌ هندسی‌ بیان‌ می‌کنیم‌ تا هندسه‌دانانی‌ که‌ در کتاب‌ اقلیدس‌ نظر کرده‌اند آن‌ را دریابند». بخش‌ دوم‌ کتاب‌ ابوکامل‌ مختص‌ محاسبة‌ برخی‌ از مقادیر هندسی‌، و از جمله‌ ضلع‌ پنج‌ضلعی‌ و ده‌ضلعی‌ و پانزده‌ضلعیِ محاط‌ در دایره‌ بر حسب‌ قطر آن‌ است‌. روش‌ هندسی‌ به‌ دست‌ آوردن‌ طول‌ ضلع‌ پنج‌ ضلعی‌ منتظم‌ محاط‌ در دایره‌ در قضیة‌ یازدهم‌ از مقالة‌ سیزدهم‌ اصول‌ اقلیدس‌ (ج‌ 3، ص‌ 461ـ466) بیان‌ شده‌، اما ابوکامل‌ مقدار عددی‌ ضلع‌ این‌ چند ضلعیها را به‌ دست‌ می‌آورد، بدین‌معنی‌ که‌ به‌ دست‌ آوردن‌ ضلع‌ چند ضلعی‌ را به‌ حل‌ یک‌ معادلة‌ درجة‌ دوم‌ تبدیل‌ می‌کند. مثلاً به‌ دست‌ آوردن‌ ضلع‌ پنج‌ضلعی‌ منتظم‌ محاط‌ در دایره‌ای‌ به‌ شعاع‌ 10 به‌ حل‌ معادلة‌ دومجذوری‌ 2 x 125 = 3125 + 4 x منجر می‌شود (ابوکامل‌، 1406 الف‌ ، ص‌ 134ـ 135). ابوکامل‌ با این‌ کار نه‌ تنها معادلات‌ از درجة‌ چهارم‌ (ولی‌ قابل‌ تبدیل‌ به‌ معادلات‌ درجة‌ دوم‌) را در نظر می‌گیرد بلکه‌ ریشة‌ این‌ معادلات‌ را هم‌ که‌ عموماً مقادیر گنگ‌ است‌ به‌ صورت‌ عدد تلقی‌ می‌کند. در واقع‌، او میان‌ دو سنّت‌ یونانی‌، که‌ یکی‌ محاسبة‌ مقدار تقریبی‌ مقادیر هندسی‌ است‌، مانند محاسبة‌ وتر زاویة‌ یک‌ درجه‌ به‌ صورتی‌ که‌ مثلاً در کتاب‌ مجسطی‌ بطلمیوس‌ (ص‌ 48ـ56) دیده‌ می‌شود، و دیگری‌ ترسیم‌ دقیق‌ این‌ مقادیر از راه‌ هندسی‌، پُلی‌ می‌زند و با این‌ کار این‌ مقادیر را ریشة‌ یک‌ معادلة‌ جبری‌ درجة‌ دوم‌، یا معادلة‌ دو مجذوری‌، تلقی‌ می‌کند. در مقالة‌ سوم‌، ابوکامل‌ به‌ حل‌ چند معادلة‌ سیال‌ و چند دستگاه‌ معادلات‌ سیال‌ می‌پردازد. در این‌ مقاله‌ تأثیر کتاب‌ الحساب‌ دیوفانتوس‌، که‌ اندکی‌ پیش‌ از زمان‌ ابوکامل‌ به‌ عربی‌ ترجمه‌ شده‌ بود محسوس‌ است‌. بر کتاب‌ الجبر و المقابلة‌ ابوکامل‌، علی‌بن‌ احمد عِمرانی‌ * (متوفی‌ 344) شرحی‌ نوشته‌ بوده‌ (ابن‌ندیم‌، ص‌ 341) که‌ اکنون‌ در دست‌ نیست‌. از ابوکامل‌ رساله‌ای‌ نیز به‌ نام‌ الطرائف‌ فی‌ الحساب‌ ( رجوع کنید بهابوکامل‌، 1406 ب‌ ) در دست‌ است‌ که‌ موضوع‌ آن‌ حل‌ معادلات‌ سیال‌ مرتبة‌ اول‌ به‌ صورت‌ ax + by + cz + ... + pt = m است‌. ابوکامل‌، بر خلاف‌ دیوفانتوس‌، تنها به‌ جوابهای‌ صحیح‌ این‌ معادلات‌ توجه‌ دارد و نه‌ به‌ جوابهای‌ گویای‌ آنها.تأثیر زبان‌ جبری‌ خوارزمی‌ در کتاب‌ معرفة‌ مساحة‌ الاشکال‌ البسیطة‌ و الکریة‌ بنوموسی‌ * ( رجوع کنید به بنوموسی‌، ص‌ 58ـ137) نیز محسوس‌ است‌، که‌ پیش‌ از سال‌ 259 (سال‌ درگذشت‌ محمدبن‌ موسی‌ که‌ بزرگ‌ترین‌ سه‌ برادر است‌) تألیف‌ شده‌ است‌. بنوموسی‌ در این‌ اثر، بر خلاف‌ سنّت‌ ریاضیات‌ اقلیدسی‌ و ارشمیدسی‌، مساحت‌ یا حجم‌ یک‌ شکل‌ را نه‌ برحسب‌ مساحتی‌ دیگر بلکه‌ به‌ صورت‌ حاصل‌ضرب‌ بیان‌ می‌کنند ( دائرة‌المعارف‌ بزرگ‌ اسلامی‌ ، ج‌ 12، ص‌ 694) و، به‌ بیان‌ دیگر، مقادیر هندسی‌ را به‌ صورت‌ عدد در نظر می‌گیرند. این‌ امر اگر هم‌ بر تأثیر مستقیم‌ کتاب‌ خوارزمی‌ دلالت‌ نکند، حاکی‌ از تأثیر غیرمستقیم‌ علم‌ نوپای‌ جبر در زبان‌ ریاضی‌ آن‌ روز است‌. این‌ تأثیر در ترجمة‌ کتاب‌ الحساب‌ دیوفانتوس‌ هم‌ دیده‌ می‌شود. این‌کتاب‌، که‌ بنا بر استدلال‌ راشد (دیوفانتوس‌ اسکندرانی‌، مقدمة‌ راشد، ص‌ XXII-XVI ) در حدود سال‌ 250، و نه‌ چنانکه‌ تاکنون‌ گمان‌ برده‌اند در اواخر قرن‌ سوم‌، به‌ دست‌ قسطابن‌ لوقای‌ بعلبکی‌ * به‌ عربی‌ ترجمه‌ شده‌، در ترجمه‌ صناعة‌ الجبر نام‌ گرفته‌ است‌ (ابن‌ابی‌اصیبعه‌، ج‌ 1، ص‌ 245). گذشته‌ از این‌، واژگان‌ این‌ کتاب‌، در ترجمة‌ عربی‌ آن‌ سخت‌ تحت‌ تأثیر واژگان‌ جبری‌ است‌ (دیوفانتوس‌ اسکندرانی‌، ج‌ 3، مقدمة‌ راشد، ص‌ L ). کتاب‌ الحساب‌ دیوفانتوس‌، «هرچند به‌ مفهومی‌ که‌ خوارزمی‌ در نظر دارد کتاب‌ جبر محسوب‌ نمی‌شد، اما حاوی‌ روشهایی‌ مانند روشهای‌ جایگزینی‌ و حذف‌ و تغییرِ متغیّر است‌» که‌ در محاسبات‌ جبری‌ بسیار به‌کار می‌آیند (راشد، 1997، ص‌ 38). از همین‌رو، مترجم‌ این‌ کتاب‌ قسطابن‌ لوقا، بر سه‌ مقاله‌ و نیم‌ از آن‌ (ابن‌ندیم‌، ص‌ 353) و ابوالوفای‌ بوزجانی‌ (328ـ 388) ظاهراً بر تمامی‌ آن‌ شرح‌ نوشته‌ است‌ ( رجوع کنید بهابن‌ندیم‌، ص‌ 341). ابوالوفا کتاب‌ دیگری‌ به‌ نام‌ کتاب‌ البراهین‌ علی‌ القضایا التی‌ استعمل‌ ذیوفنطس‌ فی‌ کتابه‌ و علی‌ ما استعمله‌ هو فی‌ التفسیر (همانجا) داشته‌ و در آن‌، چنانکه‌ از عنوانش‌ پیداست‌، برای‌ قضایای‌ کتاب‌ الحساب‌ دیوفانتوس‌ و نیز قضایایی‌ که‌ خود او در شرح‌ آن‌ به‌ کار برده‌ بوده‌ اثباتهایی‌ ارائه‌ کرده‌ بوده‌ است‌.کرجی‌ و مکتب‌ او. تأثیر آشنایی‌ جبردانان‌ اسلامی‌ با کتاب‌الحساب‌ دیوفانتوس‌ در آثار کرجی‌، ریاضیدان‌ قرن‌ چهارم‌ هجری‌ و مکتب‌ او، به‌ویژه‌ خلف‌ او سموأل‌بن‌ یحیی‌ مغربی‌ * دیده‌ می‌شود. از زندگی‌ کرجی‌ تقریباً هیچ‌ نمی‌دانیم‌، جز اینکه‌ احیاناً از مردم‌ یکی‌ از شهرهایی‌ که‌ کَرَج‌ نام‌ داشته‌اند (و شاید هم‌ اهل‌ کَرخ‌) بوده‌ و بخش‌ اخیر زندگی‌ خود را در ولایات‌ جبال‌ به‌ کار مهندسی‌ و به‌ویژه‌ حفر قنات‌ گذرانده‌ است‌. از او، جز کتابی‌ در استخراج‌ آبهای‌ پنهانی‌ ، رساله‌های‌ چندی‌ در جبر و حساب‌ باقی‌ مانده‌ است‌، که‌ از آن‌ میان‌ دو رسالة‌ البدیع‌ و الفخری‌ ، که‌ به‌ نام‌ فخرالملک‌ وزیر نوشته‌ شده‌ (کرجی‌، 1406، ص‌ 97؛ نیز رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 391ـ392)، به‌ویژه‌ در خور ذکر است‌. به‌ گفتة‌ ابن‌خلّکان‌ (ج‌5، ص‌125ـ126) این‌ فخرالملک‌ابوغالب‌ محمدبن‌ علی‌بن‌ خلف‌ (مقتول‌ در 407) وزیر بهاءالدوله‌ و سلطان‌الدولة‌ دیلمی‌ است‌ و کرجی‌ کتاب‌ الکافی‌ خود را هم‌ برای‌ او نوشته‌ بوده‌ است‌. از میان‌ دو شاخة‌ جبر، کار کرجی‌ بیشتر در حوزة‌ تکمیل‌ حساب‌ جبری‌، یعنی‌ عملیات‌ بر روی‌ عبارات‌ جبری‌، قرار می‌گیرد و به‌ گفتة‌ ووپکه‌ (ص‌ 4) «وی‌ کامل‌ترین‌ و در واقع‌ تنها نظریة‌ حساب‌ جبری‌ را که‌ تاکنون‌ در نزد عرب‌زبانها سراغ‌ می‌توان‌ گرفت‌ عرضه‌ کرده‌ است‌» (البته‌ ووپکه‌ آثار سموأل‌ را نمی‌شناخته‌ است‌). هدف‌ کرجی‌، که‌ کمابیش‌ به‌ آن‌ تصریح‌ می‌کند، این‌ است‌ که‌ علم‌ جبر را به‌ صورت‌ علمی‌ مستقل‌ از هندسه‌ مطرح‌ کند و به‌ویژه‌ گریبان‌ خود را از نمایش‌ هندسی‌ عملیات‌ جبری‌ رها کند (راشد، 1984، ص‌ 32؛ انبوبا، ص‌ 24). از این‌ جهت‌، کار او از یک‌ سو ادامة‌ سنّتی‌ است‌ که‌ خوارزمی‌ با معرفی‌ عملیات‌ بر روی‌ دو جمله‌ایهای‌ جبری‌ بنیان‌ نهاده‌ بود و از سوی‌ دیگر مبتنی‌ بر امکاناتی‌ است‌ که‌ بر اثر کشف‌ و ترجمة‌ کتاب‌الحساب‌ دیوفانتوس‌ در اختیار قرار گرفته‌ و به‌ دست‌ ریاضیدانانی‌ چون‌ ابوالوفای‌ بوزجانی‌ گسترش‌ یافته‌ بود (راشد، 1984، همانجا). با تکیه‌ بر این‌ دو سنّت‌، کرجی‌ توفیق‌ می‌یابد که‌ نخستین‌ نظریة‌ جبر چندجمله‌ایها را به‌ دست‌ دهد.در الفخری‌ کرجی‌ به‌ بررسی‌ توانهای‌ جبری‌ می‌پردازد ( رجوع کنید بهص‌ 98ـ99) و آنگاه‌ عملیات‌ حسابی‌ را در مورد جمله‌ها و عبارات‌ جبری‌ بیان‌ می‌کند. وی‌ با بررسی‌ دو رشتة‌,... 9 ,..., x 2 x , xو, ... 9 x 1 , ... , 2 x 1 x , 1قواعد زیر را به‌ دست‌ می‌آورد (ص‌ 99ـ101) := ... 3 x 1 : 2 x 1 = 2 x 1 x : 1 ) 1 )1 n- x n = x n x 1 : 1 n- x 1 x , ... , = 2 = x 2 x 1 x : 1 ) 2 )= m x 1 . n x 1 ,... , 3 x 1 x = 1 . 2 x 1 , 2 x 1 x = 1 x . 1 ) 3 ),...) 3 , 2 , 1 (m, n = m+n x 1, = m .x n x 1 x , ... , 3 = x 3 x.x 1 x , 2 = x 2 x. x 1 ) 4 ),...) 3 , 2 , 1 (m, n = n x m xدر مورد عملیات‌ جبری‌ بر روی‌ چند جمله‌ایها، کرجی‌ نخست‌ قواعد ضرب‌ و تقسیم‌ یک‌جمله‌ایها را به‌ دست‌ می‌دهد و آنگاه‌ به‌ قواعد ضرب‌ و تقسیم‌ چند جمله‌ایها می‌پردازد. الگوی‌ او برای‌ چندجمله‌ای‌، یا به‌ اصطلاح‌ کرجی‌ «کمیات‌ مرکّب‌»، یک‌ عدد دهدهی‌ با مقادیر اعشاری‌ است‌. همچنانکه‌ در مورد خوارزمی‌ دیدیم‌، چند جمله‌ای‌ در واقع‌ عبارت‌ می‌شود از بسط‌ عددی‌ در مبنای‌ x به‌ صورت‌x ) m ... b 2 b 1 . b 0 a ... 1 n- a n F(x) = (ax 1 * 1 b ...+ a + 2 n- x * 2 n- a + 1 n- x * 1 n- a + n x * n = an m 0 i= 1 j= j x 1 j b  + i x i a  = m x 1 * m ...b + 2 x 1 * 2 +bدر مورد ضرب‌ چند جمله‌ایها، روش‌ کرجی‌ کاملاً کلی‌ است‌، اما در مورد تقسیم‌ چند جمله‌ایها وی‌ تنها قواعد تقسیم‌ یک‌ جمله‌ای‌ بر یک‌ جمله‌ای‌ و تقسیم‌ چند جمله‌ای‌ بر یک‌ جمله‌ای‌ را به‌ دست‌ می‌دهد. در مورد استخراج‌ جذر، روش‌ وی‌ کلی‌ است‌ اما به‌ حالتی‌ که‌ ضرایب‌ چند جمله‌ای‌ مثبت‌ باشند محدود می‌شود (راشد، 1984، ص‌ 34).کرجی‌ قواعد حساب‌ را در مورد کمیاتهای‌ گنگ‌ نیز به‌ کار می‌برد. هدف‌ او این‌ است‌ که‌ نشان‌ دهد که‌ این‌ قواعد وقتی‌ در مورد کمیات‌ گنگ‌ به‌کار روند ویژگیهای‌ خود را حفظ‌ می‌کنند. اما مشکلی‌ که‌ بر سر راه‌ دارد این‌ است‌ که‌ چگونه‌ می‌توان‌، بدون‌ در دست‌ داشتن‌ مفهوم‌ اعداد حقیقی‌، عملیات‌ حسابی‌ را در مورد این‌ اعداد به‌ کار برد، زیرا آنچه‌ جبردانان‌ در اختیار داشتند در واقع‌ مجموعة‌ اعداد گویا بود. در اینجا کرجی‌ بار دیگر به‌ کتاب‌ اصول‌ اقلیدس‌ متوسل‌می‌شود و تعریف‌ خود را از عدد بر تعریف‌اقلیدس‌ مبتنی‌ می‌کند. همچنین‌ مفاهیم‌ ناهمسنجه‌ و گنگ‌ را بر اساس‌ مقالة‌ دهم‌ اصول‌ اقلیدس‌ تعریف‌ می‌کند. با این‌ حال‌، باید به‌ یاد داشت‌ که‌ در نظر اقلیدس‌، و شارحان‌ او چون‌ پاپوس‌، «این‌ ویژگیها ذاتاً هندسی‌اند، و ناهمسنجگی‌ و گنگی‌ در مورد اعداد نمی‌تواند وجود داشته‌ باشد. اعداد همواره‌ گویا و همسنجه‌اند» (و ذلک‌ انّ المتباین‌ و الاصمّ، اَمّا فی‌ الاعداد فغیر موجودة‌ بل‌ الاعداد کلّها مُنطقة‌ و مشترکة‌؛ رجوع کنید به پاپوس‌ اسکندرانی‌ ، ص‌ 193؛ راشد، 1984، ص‌ 35). کرجی‌ البته‌ نمی‌تواند کاربرد این‌ مفاهیم‌ را در مورد اعداد توجیه‌ کند. تنها توجیه‌، به‌ نظر راشد، تصوری‌ است‌ که‌ او از جبر داشته‌ است‌: چون‌ کمیات‌ هندسی‌ (طولها) و اعداد می‌توانند به‌ یکسان‌ مقدارِ مجهول‌ یک‌ معادلة‌ جبری‌ قرار گیرند، بنابراین‌ می‌توان‌ قواعد حسابی‌ یکسانی‌ را دربارة‌ آنها به‌ کار برد (راشد، 1984، ص‌ 35). به‌ این‌ دلیل‌ است‌ که‌ وی‌ می‌نویسد: «من‌ نشان‌ می‌دهم‌ که‌ این‌ مقادیر [ ناهمسنجه‌، گنگ‌ ] را می‌توان‌ به‌ عدد تبدیل‌ کرد» (کرجی‌، 1964، ص‌ 29؛ نیز رجوع کنید بهراشد، 1984، ص‌ 36).به‌ این‌ طریق‌ است‌ که‌ کرجی‌ کار تعبیر جبری‌ مطالب‌ مقالة‌ دهم‌ کتاب‌ اصول‌ اقلیدس‌ را، که‌ در نظر عموم‌ ریاضیدانان‌ یونانی‌ یک‌ مقالة‌ هندسی‌ محض‌ بود، پیش‌ می‌برد. پیش‌ از او، در حدود نیمة‌ قرن‌ سوم‌، محمدبن‌ عیسی‌ ماهانی‌ * (متوفی‌ ح 275؛ رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 431) تعبیری‌ عددی‌ از کمیتهای‌ گویا و گنگ‌ مقالة‌ دهم‌ به‌دست‌ داده‌بود ( رجوع کنید به بن‌میلاد، 2004، ص‌28؛ همو، 1999، ص‌ 89 ـ156). ماهانی‌ تعریفی‌ از کمیات‌ گنگ‌ و همراه‌ آن‌ نخستین‌ طبقه‌بندی‌ کمیاتی‌ را که‌ به‌ کمک‌ رادیکالها ساختنی‌اند، به‌ دست‌ داده‌ بود که‌ در آن‌ این‌ کمیات‌ به‌ گویا و گنگ‌ تقسیم‌ می‌شوند. وجه‌مشترک‌ این‌ دو گروه‌ این‌ است‌ که‌ هر دو می‌توانند جواب‌ معادلات‌ خوارزمی‌ باشند. پس‌ از آن‌ نیز چند ریاضیدان‌ از نظریة‌ جبری‌ معادلات‌ درجة‌ دوم‌ برای‌ ترجمة‌ برخی‌ از قضایای‌ مقالة‌ دهم‌ اصول‌ به‌ زبان‌ جبری‌ استفاده‌ کرده‌ بودند (بن‌میلاد، 2004، همانجا). از لحاظ‌ کرجی‌، مفاهیمی‌ که‌ در این‌ مقاله‌ آمده‌ است‌، با کمیات‌ به‌طور کلی‌ سروکار دارند و بنابراین‌ در حوزة‌ علم‌ جبر قرار می‌گیرند (راشد، 1984، ص‌36). کرجی‌ به‌ کمیات‌ گویا و گنگ‌ به‌ چشم‌ متغیرهای‌ نامعیّن‌ نگاه‌ می‌کند و مقادیر خاص‌ آنها تحت‌الشعاع‌ عملیاتی‌ قرار می‌گیرد که‌ بر روی‌ این‌ کمیات‌ انجام‌ می‌شود. «کمیات‌ گویا و گنگ‌ دیگر به‌ کمک‌ پاره‌خطها معرفی‌ نمی‌شوند و، برای‌ اولین‌ بار، منزلتی‌ صرفاً عددی‌ پیدا می‌کنند. به‌ این‌ دلیل‌ است‌ که‌ کرجی‌ بارها از «عدد گویا» و «عدد گنگ‌» سخن‌ می‌گوید» ( رجوع کنید به بن‌میلاد، 2004، ص‌ 50 ـ51). به‌ گفتة‌ سموأل‌بن‌ یحیی‌ مغربی‌ (ص‌ 19) «کرجی‌ در همة‌ آثار حسابی‌اش‌، وقتی‌ از «عدد» سخن‌ می‌گوید منظورش‌ کمیتِ معدود است‌، منظور او عددی‌ نیست‌ که‌ واحدش‌ تجزیه‌ناپذیر است‌» (نیز رجوع کنید به بن‌میلاد، 2004، ص‌ 51، پانویس‌).به‌ این‌ طریق‌ کرجی‌ موفق‌ می‌شود دستورهایی‌ جبری‌ برای‌ گویا کردن‌ کمیات‌ گنگ‌ به‌ دست‌ دهد. وی‌ این‌ کار را نخست‌ در بارة‌ تک‌جمله‌ایها انجام‌ می‌دهد و قواعدی‌ برای‌ محاسبة‌n n n n m 2 x ¡ . 1 x ¡ , 2 x ¡ . 1 x ¡ , 2 x ¡ 1 X ) 1 )n n n m 2 x ¡ : 1 x ¡ , 2 x ¡ : 1 x ¡ ) 2 )n n 2 x ¡ 1 x ¡ ) 3 )به‌دست‌ می‌آورد. سپس‌ همین‌ روش‌ را در مورد چند جمله‌ایها به‌کار می‌بندد و از جمله‌ قواعدی‌ برای‌ محاسبة‌ عباراتی‌ چون‌2 x ¡ + 1 x ¡ ¡ , 3 x ¡ 4 + 2 x ¡ 4 1 x , 2 x ¡ _ 3 x ¡ 1 x ¡به‌ دست‌ می‌دهد (راشد، 1984، ص‌ 36ـ37).کرجی‌ در یکی‌ از آثار گمشدة‌ خود، که‌ سموأل‌ بخشی‌ از آن‌ را نقل‌ کرده‌، ضرایب‌ بسط‌ n (a+b) را محاسبه‌ کرده‌ است‌ و از این‌ نظر بر پاسکال‌ که‌ این‌ ضرایب‌ (مثلث‌ پاسکال‌) به‌ نام‌ او معروف‌ است‌، و نیز بر خیام‌، که‌ او نیز گاهی‌ کاشف‌ این‌ ضرایب‌ شمرده‌ می‌شود، فضل‌ تقدم‌ دارد. مهم‌تر اینکه‌، برای‌ به‌ دست‌ آوردن‌ این‌ ضرایب‌، کرجی‌ از نوعی‌ برهان‌ ریاضی‌ که‌ امروزه‌ به‌ «استقراء ریاضی‌» معروف‌ است‌ استفاده‌ می‌کند، و از این‌ نظر نیز در کشف‌ این‌ روش‌بر پاسکال‌ و یا لِوی‌بن‌گِرشون‌ ریاضیدان‌ یهودی‌ فرانسوی‌ (1288ـ1344) که‌ پیش‌ از این‌ کاشف‌ این‌ روش‌ محسوب‌ می‌شده‌اند، مقدّم‌ است‌ (راشد، 1972، ص‌1ـ21).بر پایة‌ کار کرجی‌، سموأل‌بن‌ یحیی‌ مغربی‌ (متوفی‌ ح 570)، در الباهر ، نخستین‌ روش‌ کلی‌ برای‌ عملیات‌ روی‌ چندجمله‌ایها را به‌ دست‌ می‌دهد. کار او نیز بر اساس‌ شباهت‌ میان‌ ساختار چندجمله‌ایهای‌ جبری‌ و اعداد دهگانی‌ است‌ و مبتنی‌ است‌ بر مفهوم‌ «رتبه‌» و استفاده‌ از جداولی‌ که‌ عملیات‌ جبری‌ را تسهیل‌ می‌کند. در جدولی‌ که‌ برای‌ نمونه‌ آمده‌ است‌، رُتبة‌ هر7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 77 x 1 6 x 1 5 x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 1 x 1 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x5 4 9 3 5 7 26 3 2 5 1 66 5 7 9 5 5 5 8 2 6تک‌ جمله‌ای‌ با فاصلة‌ آن‌ با رتبة‌ صفر (واحد) مشخص‌ می‌شود. ستونهای‌ سمت‌ چپ‌ واحد نشانة‌ رتبه‌های‌ مثبت‌ و ستونهای‌ سمت‌ راست‌ آن‌ نشانة‌ رتبه‌های‌ منفی‌اند. با این‌ قرارداد، سطرهای‌ سوم‌ و چهارم‌ این‌ جدول‌ نمایش‌ تابعهای‌4 x 5 + 2 x 4 x + 9 + 3 x + 5 + 3 x 7 + 4 x 2 f(x) = و5 x 6 + 2 x 3 + 2 + 2 x 5 + 3 + x 5 x 6 g(x) = و سطر پنجم‌ نمایش‌ مجموع‌ این‌ دو تابع‌، یعنی‌5 x 6 + 4 x 5 + 2 x 7 + x 9 + 5 + x 5 + 2 x 5 + 3 x 8 + 4 x 2 + 5 x 6 g(x)= f(x) +است‌. به‌ کمک‌ این‌گونه‌ جدولها عملیات‌ جبریِ دیگر را نیز روی‌ چند جمله‌ایها می‌توان‌ انجام‌ داد.خیام‌ و نظریة‌ هندسی‌ معادلات‌ درجة‌ سوم‌. اگر آثار کرجی‌ و مکتب‌ او را اوج‌ جریان‌ حسابی‌ کردن‌ جبر به‌ شمار بیاوریم‌، آثار جبری‌ خیام‌ را می‌توان‌ نقطة‌ اوج‌ جریان‌ هندسی‌ کردن‌ جبر در جهان‌ اسلام‌ دانست‌. از خیام‌ دو رساله‌ در جبر باقی‌ مانده‌ است‌، یکی‌ به‌ نام‌ رسالة‌ فی‌ الجبر و المقابلة‌ که‌ موضوع‌ آن‌ طبقه‌بندی‌ و حل‌ معادلات‌ با درجة‌ کوچک‌تر یامساوی‌ سه‌ است‌ و دیگری‌ رساله‌ای‌ که‌ فی‌ قسمة‌ ربع‌ الدائرة‌ نام‌ دارد، و پیش‌ از رسالة‌ فی‌ الجبر و المقابلة‌ تألیف‌ شده‌ و به‌ حل‌ یک‌ مسئلة‌ هندسی‌ خاص‌ به‌ روش‌ جبری‌ می‌پردازد و نیز طبقه‌بندی‌ دیگری‌ برای‌ معادلات‌ با درجة‌ کوچک‌تر یا مساوی‌ سه‌ عرضه‌ می‌کند. اهمیت‌ رسالة‌ دوم‌ در این‌ است‌ که‌ خیام‌ در آن‌ تاریخچه‌ای‌ از مسائلی‌ را که‌ حل‌ آنها به‌ یافتن‌ ریشة‌ معادلات‌ درجة‌ سوم‌ منجر می‌شود به‌ دست‌ می‌دهد. همچنین‌ در این‌ رساله‌، به‌ خلاف‌ رسالة‌ الجبر و المقابلة‌ که‌ روشی‌ کاملاً ترکیبی‌ دارد، مسئلة‌ مورد نظر به‌ شیوة‌ تحلیلی‌ نیز بررسی‌ می‌شود، و از این‌ نظر این‌ رساله‌ مدخل‌ مهمی‌ است‌ برای‌ آشنایی‌ با راهی‌ که‌ خیام‌ برای‌ رسیدن‌ به‌ روشهای‌ حل‌ معادلات‌، که‌ در رسالة‌ الجبر و المقابلة‌ ارائه‌ شده‌، پیموده‌ است‌.ریاضیدانان‌ یونانی‌ دریافته‌ بودند که‌ حل‌ برخی‌ از مسائل‌ هندسی‌ به‌ آسانی‌ با خط‌کش‌ و پرگار ممکن‌ نیست‌. ازاین‌رو کوشش‌ می‌کردند که‌ از راه‌ «تحلیل‌» این‌ مسائل‌ را به‌ مسائلی‌ ساده‌تر که‌ حل‌ آنها شاید آسان‌تر باشد، تبدیل‌ کنند. از آن‌ جمله‌اند سه‌ مسئلة‌ معروف‌ و کلاسیک‌ تضعیف‌ مکعب‌ * ، تربیع‌ دایره‌ * و تثلیث‌ زاویه‌ * .در مسئلة‌ تضعیف‌ مکعب‌، هدف‌ یافتن‌ ضلع‌ مکعبی‌ است‌ که‌ حجم‌ آن‌ دو برابر مکعب‌ مفروضی‌ باشد. به‌ زبان‌ علائم‌ جبری‌، اگر ضلع‌ مکعب‌ مفروض‌ را به‌ a و ضلع‌ مکعب‌ مطلوب‌ را به‌ x نمایش‌ دهیم‌، مسئلة‌ تضعیف‌ مکعب‌ به‌ حل‌ معادلة‌ 3 a 2 = 3 x منجر می‌شود که‌ معادله‌ای‌ است‌ از درجة‌ سوم‌. ریاضیدانان‌ یونانی‌، بی‌آنکه‌ این‌ راه‌ را طی‌ کنند، یعنی‌ معادله‌ای‌ بنویسند، دریافته‌ بودند که‌ مسئلة‌ تضعیف‌ مکعب‌ را می‌توان‌ به‌ «درج‌ دو واسطه‌ میان‌ دو مقدار معلوم‌» تبدیل‌ کرد. منظور از این‌ اصطلاح‌، یافتن‌ مقادیر (طولهای‌) x و y است‌ که‌ در روابط‌ x = by y xa = صدق‌ کنند. از ضرب‌ این‌ روابط‌ به‌ دست‌ می‌آوریم‌:= ay 2 x (1)xy = ab (2)رابطة‌ (1) معادلة‌ یک‌ سهمی‌ به‌ رأس‌ مبدأ مختصات‌ و رابطة‌ (2) معادلة‌ یک‌ هذلولی‌ متساوی‌الساقین‌ است‌ که‌ مجانبهای‌ آن‌ محورهای‌ مختصات‌اند. به‌ این‌ طریق‌ حل‌ مسئلة‌ «درج‌ دو واسطه‌ در میان‌ دو مقدار معلوم‌» (و در نتیجه‌ حل‌ مسئلة‌ تضعیف‌ مکعب‌) به‌ یافتن‌ نقاط‌ تقاطع‌ یک‌ سهمی‌ و یک‌ هذلولی‌ معلوم‌ منجر می‌شود.این‌ نحوة‌ بیان‌ و استفاده‌ از معادلات‌ نباید ما را در مورد روش‌ یونانیان‌ به‌ اشتباه‌ بیندازد. مسئلة‌ تضعیف‌ مکعب‌ برای‌ ایشان‌ یک‌ مسئلة‌ هندسی‌ صرف‌ بود که‌ به‌ یک‌ مسئلة‌ هندسی‌ دیگر، و آن‌ نیز به‌ یافتن‌ نقاط‌ تقاطع‌ یک‌ سهمی‌ و یک‌ هذلولی‌، که‌ مسئلة‌ هندسی‌ سومی‌ بود، تحلیل‌ می‌شد، بی‌آنکه‌ ریاضیدانان‌ یونانی‌ در هیچ‌یک‌ از مراحل‌ تحلیل‌ از مفاهیم‌ جبری‌ای‌ چون‌ معادله‌ استفاده‌ کنند.در دوران‌ اسلامی‌، ریاضیدانانی‌ در صدد برآمدند تا مسائلی‌ از این‌ قبیل‌، و نیز برخی‌ از مسائل‌ حسابی‌ یا هندسی‌ را که‌ ضمن‌ پژوهشهای‌ خود ایشان‌ پیش‌ می‌آمد، به‌ زبان‌ معادلات‌ ترجمه‌ کنند. خیام‌ (1339 ش‌ الف‌ ، ص‌ 63، ترجمة‌ فارسی‌، ص‌ 260) این‌ کار را «استعمال‌ واژگان‌ اهل‌ جبر دراین‌ گونه‌ مسائل‌» می‌نامد (نیز رجوع کنید به راشد و وهاب‌زاده‌، ص‌ 247)، و خود در رسالة‌ فی‌قسمة‌ ربع‌الدائرة‌ این‌ روش‌ را به‌کار می‌برد زیرا «با استفاده‌ از این‌ واژگان‌ ضرب‌ و تقسیم‌ آسان‌تر می‌شود» (نیز رجوع کنید به راشد و وهاب‌زاده‌، ص‌ 247). مسئله‌ای‌ که‌ خیام‌ در این‌ کتاب‌ (ص‌ 59) طرح‌ می‌کند این‌ است‌:بر روی‌ ربع‌ دایره‌ای‌ (شکل‌ 5) نقطة‌ G را چنان‌ بیابید که‌ داشته‌ باشیم‌ CDGH = CHHB . این‌ مسئله‌ از راه‌ تحلیل‌ به‌ ترسیم‌ مثلث‌ قائم‌الزوایة‌ ABC منجر می‌شود به‌ طوری‌ که‌ AB + BD = AC ( BD ارتفاع‌ وارد از رأس‌ B بر ضلع‌ AC است‌؛ همان‌، ص‌ 63ـ64).با فرض‌ 10 AD = و BD = x ، ترسیم‌ این‌ مثلث‌ معادل‌ می‌شود با حل‌ معادلة‌ 2000 + 2 x 20 = x 200 + 3 x که‌ معادله‌ای‌ است‌ از درجة‌ سوم‌ (همان‌، ص‌ 65ـ67). خیام‌ در رسالة‌ فی‌ قسمة‌ ربع‌ الدائرة‌ به‌ تاریخچة‌ مسائل‌ هندسی‌ای‌ که‌ حل‌ آنها به‌ معادلات‌ درجة‌ سوم‌ می‌انجامد، می‌پردازد. از میان‌ مسائلی‌ که‌ خیام‌ ذکر می‌کند یکی‌ مسئلة‌ ارشمیدس‌ است‌، یعنی‌ تقسیم‌ کره‌ای‌ به‌ دو قسمت‌، به‌طوری‌ که‌ حجم‌ قسمت‌ بزرگ‌تر n برابر حجم‌ قسمت‌ کوچک‌تر باشد. ارشمیدس‌ در کتاب‌ کره‌ و استوانه‌ خود این‌ مسئله‌ را، از راه‌ تحلیل‌، به‌ مسئلة‌ زیر تبدیل‌ می‌کند: دو خط‌ AB و BC به‌ اندازة‌ معلوم‌ و بر یک‌ استقامت‌ داده‌ شده‌اند. نسبت‌ BC بر CE معلوم‌ است‌. بنابراین‌ CE ، چنانکه‌ در مُعطیات‌ [ اقلیدس‌ ] ثابت‌ شده‌، معلوم‌ است‌. نقطة‌ D را طوری‌ به‌ دست‌ می‌آوریم‌ که‌ نسبت‌ CD بر CE مساوی‌ با نسبت‌ 2 AB بر AD باشد.خیام‌ (1339 ش‌ الف‌ ، ص‌ 67) پس‌ از آنکه‌ نخستین‌ طبقه‌بندی‌ خود از معادلات‌ درجة‌ سوم‌ را عرضه‌ می‌کند، می‌گوید که‌ «ریاضیدانان‌ متقدم‌ که‌ به‌ زبان‌ ما نمی‌نوشته‌اند» (یعنی‌ ریاضیدانان‌ یونانی‌) به‌ هیچ‌یک‌ از این‌ معادلات‌ پی‌ نبرده‌اند و یا اگر در این‌ باره‌ چیزی‌ نوشته‌ بوده‌اند به‌ دست‌ ما نرسیده‌ است‌. اما در میان‌ «همزبانان‌ ما» (یعنی‌ ریاضیدانان‌ دورة‌ اسلامی‌ که‌ به‌ عربی‌ می‌نوشته‌اند) «ماهانی‌ مهندس‌»، نخستین‌ کسی‌ است‌ که‌ در کوشش‌ برای‌ حل‌ مسئلة‌ ارشمیدس‌ به‌ یکی‌ از این‌ نوع‌ معادلات‌ رسیده‌ بوده‌ است‌. به‌ گفتة‌ خیام‌ (1339 ش‌ الف‌ ، ص‌ 67ـ 68)، ماهانی‌ مسئلة‌ ارشمیدس‌ را به‌ معادله‌ای‌ به‌ صورت‌ + b 2 = ax 3 x تبدیل‌ کرد و چون‌ از حل‌ این‌ معادله‌ عاجز ماند به‌ ممتنع‌ بودن‌ مسئله‌ حکم‌ کرد. پس‌ از آن‌، ابوجعفر خازن‌ (متوفی‌ بین‌ سالهای‌ 350 و 360؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 63) راه‌حل‌ این‌ معادله‌ را پیدا کرد و رساله‌ای‌ در این‌ باره‌ نوشت‌. ابونصر عراق‌ (متوفی‌ بین‌ سالهای‌ 408 و 427؛ رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 112) ریاضیدان‌ دیگری‌ بود که‌ مسئلة‌ ترسیم‌ ضلع‌ هفت‌ضلعی‌ منتظم‌ را «با استفاده‌ از واژگان‌ جبری‌» به‌ حل‌ معادلة‌ = b 2 + ax 3 x تبدیل‌ کرد و این‌ معادله‌ را با کاربرد مقاطع‌ مخروطی‌ حل‌ کرد (خیام‌، 1339 ش‌ الف‌ ، همانجا).معادلات‌ درجة‌ سوم‌ تنها از کوشش‌ برای‌ حل‌ برخی‌ از مسائل‌ کلاسیک‌ هندسی‌ زاده‌ نمی‌شدند، بلکه‌ حل‌ برخی‌ از مسائل‌ عددی‌ نیز به‌ معادلاتی‌ از درجة‌ سوم‌ منتهی‌ می‌شد. به‌ نوشتة‌ خیام‌ (همانجا، ترجمة‌ فارسی‌، ص‌ 264ـ 268)، ابوسهل‌کوهی‌ * (نیمة‌ دوم‌ قرن‌ چهارم‌) و ابوالوفای‌ بوزجانی‌ و ابوحامد صاغانی‌ * (متوفی‌ 379؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 292) و برخی‌ ریاضیدانان‌ دیگر، که‌ در دربار عضدالدوله‌ دیلمی‌ بودند، سعی‌ کردند دستگاه‌ 10 x + y = ، 72 + xy = 2 + y 2 x را (به‌شرط‌ x > y ) حل‌ کنند. حل‌ این‌ دستگاه‌، از راه‌ تحلیل‌، به‌ معادلة‌ 2 + ax + b = cx 3 x منجر شد که‌ این‌ ریاضیدانان‌ از حل‌ آن‌ درماندند و سرانجام‌ ابوالجود محمدبن‌ لیث‌ * ، در دربار سامانیان‌، آن‌ را حل‌ کرد (نیز رجوع کنید به راشد و وهاب‌زاده‌، ص‌ 255ـ257).پس‌ از خیام‌ نیز ریاضیدانان‌ دیگری‌ در حل‌ حالات‌ خاصی‌ از معادلات‌ درجة‌ سوم‌ کوشیده‌اند. از جمله‌ ریاضیدانی‌ به‌ نام‌ سُلَمی‌ (قرن‌ ششم‌) در کتاب‌ خود به‌نام‌ المقدمة‌الکافیة‌ فی‌ حساب‌الجبر و المقابلة‌ ، دو نوع‌ معادلة‌ درجة‌ سوم‌ را در حالت‌ خاص‌ حل‌ کرده‌ و پاسخ‌ آنها را به‌ کمک‌ رادیکالها به‌ دست‌ آورده‌ است‌ (راشد، 1997، ص‌40). ابن‌بنّای‌مراکشی‌ (654ـ721؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌17) نیز در کتاب‌ فی‌الجبر و المقابلة‌ معادلة‌ درجة‌ سومی‌ را با تغییر متغیر حل‌ کرده‌ است‌. نیازهای‌ منجمان‌ نیز در پیدایش‌ برخی‌ از معادلات‌ درجة‌ سوم‌ مؤثر بود. مثلاً بیرونی‌، برای‌ تشکیل‌ جدول‌ سینوسها، معادلات‌ 1 x + 3 = 3 x و x 3 = 1 + 3 x را تشکیل‌ داده‌ و آنها را از راه‌ آزمون‌ و خطا حل‌ کرده‌ است‌ (ابوریحان‌ بیرونی‌، 1373ـ 1375، ج‌ 1، ص‌ 288؛ راشد، 1997، ص‌ 54).گزارش‌ تاریخی‌ خیام‌ نشان‌ می‌دهد که‌ چگونه‌ در اثر پیدایش‌ علم‌ جبر، مسائلی‌ که‌ پیش‌ از آن‌ مستقیماً از راه‌ جستجوی‌ مقاطع‌ مخروطی‌ مناسب‌ و تقاطع‌ آنها حل‌ می‌شد، اکنون‌ نخست‌ به‌ زبان‌ معادلات‌ ترجمه‌ می‌شد و سپس‌ با کاوش‌ در این‌ معادلات‌ کوشش‌ می‌شد که‌ یک‌ راه‌ هندسی‌ برای‌ حل‌ آنها یافت‌ شود. با این‌ حال‌، این‌ کوششها، چنانکه‌ خیام‌ گفته‌ است‌، تنها به‌ معادلات‌ خاصی‌، آن‌ هم‌ با ضریب‌ عددی‌ خاص‌ منجر می‌شد.کار خیام‌ نقطة‌ تلاقی‌ این‌ کوششها و سنّت‌ جبری‌ خوارزمی‌ است‌. وی‌ همان‌ کاری‌ را که‌ خوارزمی‌ در بارة‌ معادلات‌ از درجة‌ کوچک‌تر یا مساوی‌ با دو کرده‌ بود، برای‌ معادلات‌ با درجة‌ کوچک‌تر یا مساوی‌ با سه‌ انجام‌ می‌دهد، و با در نظر گرفتن‌ کلیة‌ ترکیبهای‌ ممکن‌ x (که‌ وی‌ آن‌ را گاهی‌ شی‌ء و گاهی‌ جذر و گاهی‌ ضلع‌ می‌نامد) و 2 x و 3 x (که‌ وی‌ آن‌ را «مکعب‌» می‌نامد) به‌ دو نوع‌ طبقه‌بندی‌ این‌ معادلات‌ می‌رسد. خیام‌ در فی‌قسمة‌ ربع‌الدائرة‌ (1339 ش‌ الف‌ ، ص‌ 65ـ67، ترجمة‌ فارسی‌، ص‌265ـ 266؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهاب‌زاده‌، ص‌251ـ255) معادلات‌ را بر حسب‌ درجة‌ آنها تقسیم‌ می‌کند، و به‌این‌ ترتیب‌ به‌ سه‌ دسته‌ معادله‌ می‌رسد:1) معادلات‌ درجة‌ اول‌ و دوم‌. اینها همان‌ شش‌ معادلة‌ خوارزمی‌اند و خیام‌ می‌گوید که‌ حل‌ این‌ معادلات‌ با استفاده‌ از «مقالة‌ دوم‌» (یعنی‌ مقالة‌ دوم‌ اصول‌ اقلیدس‌) ممکن‌ می‌شود، «چنانکه‌ در کتابهای‌ جبریان‌ آمده‌ است‌». از این‌ عبارت‌ پیداست‌ که‌ وی‌ راه‌حلهای‌ هندسی‌ خود را برای‌ معادلات‌ درجة‌ دوم‌ (که‌ بعداً در رسالة‌ الجبر و المقابلة‌ شرح‌ خواهد داد) با راه‌حلهای‌ الگوریتمی‌ جبریان‌ معادل‌ می‌داند.2) معادلات‌ درجة‌سوم‌ دوجمله‌ای‌(مفردات‌) که‌عبارت‌اند از: 2 = ax 3 x که‌ به‌معادلة‌ درجة‌اول‌ x = a تبدیل‌ می‌شود، و = ax 3 x که‌ به‌ معادله‌ درجة‌ دوم‌ = a 2 x تبدیل‌ می‌شود، و = a 3 x که‌ حل‌ آن‌ به‌ طریق‌ عددی‌ و از راه‌ استخراج‌ ریشة‌ سوم‌ و یا به‌ طریق‌ هندسی‌ و با استفاده‌ از مقاطع‌ مخروطی‌ ممکن‌ است‌ (در واقع‌ این‌ معادله‌ همان‌ مسئلة‌ تضعیف‌ مکعب‌ است‌ که‌ قبلاً از آن‌ یاد کردیم‌).3) سیزده‌معادلة‌ سه‌جمله‌ای‌وچهارجمله‌ای‌ (مُقترنات‌) درجة‌ سوم‌ که‌ حل‌ آنها تنها با استفاده‌ از مقاطع‌ مخروطی‌ ممکن‌ است‌.وی‌ در رسالة‌ الجبر و المقابلة‌ (ص‌10ـ12، ترجمه‌ فارسی‌، ص‌ 168ـ169) تقسیم‌بندی‌ دیگری‌ به‌دست‌ می‌دهد که‌ بر اساس‌ تعداد جمله‌های‌ هر معادله‌ است‌. به‌ این‌ طریق‌ سه‌ دسته‌ معادله‌ به‌ دست‌ می‌آید :1) معادلات‌ دوجمله‌ای‌ (مُفردات‌) که‌ شامل‌ یک‌معادلة‌ درجة‌ اول‌، یک‌ معادلة‌ درجة‌ دوم‌ و سه‌ معادلة‌ درجة‌ سوم‌ است‌. از سه‌ معادلة‌ اخیر، یکی‌ به‌ معادلة‌ درجة‌ اول‌ و دیگری‌ به‌ معادلة‌ درجة‌ دوم‌ قابل‌ تبدیل‌ است‌. معادلة‌ سوم‌ همان‌ مسئلة‌ تضعیف‌ مکعب‌ است‌.2) معادلات‌ سه‌ جمله‌ای‌ (مقترنات‌ سه‌ جمله‌ای‌) درجة‌ دوم‌ یا قابل‌ تبدیل‌ به‌ درجة‌ دوم‌ که‌ شامل‌ سه‌ معادلة‌ سه‌ جمله‌ای‌ خوارزمی‌ و معادلات‌ زیر است‌:= cx 2 + bx 3 x2 + cx = bx 3 x= bx 2 + cx 3 xدر مورد سه‌ معادلة‌ خوارزمی‌، خیام‌ می‌گوید که‌ این‌ معادلات‌ همانهاست‌ که‌ در کتابهای‌ جبریان‌ آمده‌ است‌ و از طریق‌ هندسی‌ آنها را برهانی‌ کرده‌اند اما از راه‌ عددی‌ بُرهانی‌ بر آنها نیاورده‌اند، و در مورد سه‌ معادلة‌ اخیر می‌نویسد که‌ جبریان‌ این‌ سه‌ معادله‌ را معادل‌ با سه‌ معادلة‌ اول‌ دانسته‌اند، اما در موردی‌ که‌ موضوع‌ این‌ معادلات‌ مقادیر اندازه‌پذیر («ممسوحات‌»، یعنی‌ مقادیر هندسی‌) باشد برهانی‌ برای‌ آن‌ اقامه‌ نکرده‌اند. در موردی‌ که‌ موضوع‌ این‌ مسائل‌ عدد باشد، برهان‌ مسئله‌ از کتاب‌ اصول‌ اقلیدس‌ روشن‌ است‌ وخود او هم‌ برهان‌ هندسی‌ آن‌ را ذکر خواهد کرد ( رجوع کنید به راشد و وهاب‌زاده‌، ص‌ 127).بقیة‌ معادلات‌ را خیام‌ (ص‌ 11ـ12) به‌ صورت‌ زیر تقسیم‌بندی‌ می‌کند. مقترنات‌ سه‌ جمله‌ای‌ شامل‌:+ cx = b 3 x+ b = cx 3 x= cx + b 3 x= b 2 + cx 3 x2 + b = cx 3 x+ c 2 = bx 3 xو مقترنات‌ چهارجمله‌ای‌ که‌ آن‌ هم‌ شامل‌ دو دسته‌ می‌شود. دستة‌ اول‌ معادلاتی‌ که‌ در یک‌ سمت‌ آنها یک‌ جمله‌ و در سمت‌ دیگر سه‌ جمله‌ وجود دارد و شامل‌ معادلات‌ زیر است‌:+ bx = c 2 + ax 3 x+ b = cx 2 + ax 3 x2 + ax + b = cx 3 x+ bx + c 2 = ax 3 xدستة‌ دوم‌ از معادلات‌ چهار جمله‌ای‌ معادلاتی‌ است‌ که‌ در هر طرف‌ آنها دو جمله‌ وجود دارد و شامل‌ معادلات‌ زیر است‌:=bx+c 2 +ax 3 x+c 2 +ax =bx 3 x+cx 2 +a =bx 3 xبه‌ این‌ طریق‌ 25 نوع‌ (صنف‌) معادله‌ به‌ دست‌ می‌آید که‌ حل‌ 14 نوع‌ از آنها با استفاده‌ از مقاطع‌ مخروطی‌ ممکن‌ است‌.روش‌ خیام‌ در حل‌ معادلات‌ درجة‌ سوم‌. چنانکه‌ دیدیم‌، جبر از نظر خیام‌ علمی‌ برهانی‌ است‌، و علم‌ برهانی‌، در آن‌ زمان‌، علمی‌ بود که‌ از روشهای‌ هندسی‌ استفاده‌ کند. از این‌ نظر، خیام‌ نه‌ تنها معادلات‌ درجة‌ سوم‌ را به‌ روش‌ هندسی‌ حل‌ می‌کند بلکه‌ برای‌ معادلات‌ درجات‌ اول‌ و دوم‌ نیز راه‌ حلهایی‌ هندسی‌ به‌ دست‌ می‌دهد که‌ بر قضایایی‌ از اصول‌ اقلیدس‌ مبتنی‌ است‌. در حل‌ معادلات‌ درجة‌ سوم‌ نیز او از قضایای‌ اصول‌ و مُعطیات‌ اقلیدس‌ و دو مقالة‌ اول‌ مخروطات‌ آپولونیوس‌ استفاده‌ می‌کند. این‌ تعبیر هندسی‌ هر چند راه‌ حلهای‌ خیام‌ را از ایقان‌ برهانی‌ بهره‌مند می‌کند، اما در تصور او از جبر محدودیتهای‌ ایجاد می‌کند. به‌ این‌ اعتبار، روش‌ خیام‌ نسبت‌ به‌ جبردانان‌ پیشین‌، از یک‌ جهت‌ پیشرفتی‌ بزرگ‌ و از جهت‌ دیگر گامی‌ به‌ عقب‌ محسوب‌ می‌شود. تعبیر هندسی‌ معادلات‌ جبری‌ سبب‌ می‌شود که‌ خیام‌ مقادیر مجهول‌ را به‌ صورت‌ طولهای‌ هندسی‌ در نظر بگیرد و چون‌ از لحاظ‌ هندسی‌ تنها مقادیر همجنس‌ را می‌توان‌ با هم‌ جمع‌ کرد، در معادله‌ای‌ چون‌ +bx =c 3 x ، چون‌ جملة‌ 3 x از جنس‌ حجم‌ است‌، ناگزیر ضریب‌ b باید از جنس‌ سطح‌ و مقدار ثابت‌ c نیز از جنس‌ حجم‌ باشد. به‌ این‌ دلیل‌، خیام‌ در تعبیر توانهای‌ n x به‌ ازای‌ 4  n با دشواری‌ مواجه‌ می‌شود و تصریح‌ می‌کند که‌ این‌گونه‌ عبارات‌ در مورد مقادیر (یعنی‌ کمیتهای‌ هندسی‌) «موهوم‌»اند و تنها در مورد اعداد، معنی‌ دارند. خیام‌ (1339 ش‌ الف‌ ، ص‌ 64ـ65، ترجمة‌ فارسی‌، ص‌ 262؛ نیز رجوع کنید بهراشد و وهاب‌زاده‌، ص‌ 249) می‌نویسد:«می‌گویم‌ که‌ آنچه‌ جبریان‌ آن‌ را «مال‌ مال‌» ( 4 x ) می‌نامند، در مقادیر متصل‌ (کمیات‌ هندسی‌) چیزی‌ موهوم‌ است‌ و به‌ هیچ‌ وجه‌ در اعیان‌ خارجی‌ وجود ندارد. بلکه‌ الفاظ‌ مال‌ مال‌ ( 4 x ) و مال‌ کعب‌ ( 5 x ) و کعب‌ کعب‌ ( 6 x ) وقتی‌ بر مقادیر قابل‌ اطلاق‌اند که‌ این‌ مقادیر را به‌ عنوان‌ عدد تلقی‌ کنیم‌».از این‌رو خیام‌، بر خلاف‌ جبردانان‌ مکتب‌ کرجی‌ که‌ آزادانه‌ عملیات‌ جبری‌ را بر روی‌ همة‌ توانهای‌ مجهول‌ انجام‌ می‌دادند بی‌آنکه‌ تصریح‌ کنند که‌ مقدار مجهول‌ عدد یا مقدار یا کمیت‌ دیگری‌ است‌، عمل‌ ضرب‌ را در مورد کمیات‌ متصل‌ تا وقتی‌ جایز می‌داند که‌ توان‌ مجهول‌ (و در واقع‌ همة‌ توانهایی‌ که‌ در معادله‌ وارد می‌شوند) از سه‌ تجاوز نکند. از این‌ روست‌ که‌ تنها معادلات‌ تا درجة‌ 3 را در نظر می‌گیرد.حل‌ معادلات‌ درجة‌ سوم‌. خیام‌ هر معادلة‌ درجة‌ سوم‌ را در مراحل‌ معیّنی‌ حل‌ می‌کند. ما این‌ مراحل‌ را در مورد معادلة‌ +bx = c 3 x شرح‌ می‌دهیم‌.مرحلة‌ اول‌: همگن‌ کردن‌ معادله‌. چنانکه‌ گفتیم‌، برای‌ آنکه‌ معادله‌ معنای‌ هندسی‌ داشته‌ باشد، باید همة‌ جملات‌ آن‌ از یک‌ درجه‌ باشند. خیام‌ کار همگن‌ کردن‌ معادلات‌ را از راه‌ انتخاب‌ واحدهای‌ طول‌ و سطح‌ و حجم‌ انجام‌ می‌دهد. واحد طول‌ خطی‌ است‌ به‌ طول‌ واحد، واحد سطح‌ مربعی‌ است‌ که‌ طول‌ هر یک‌ از اضلاع‌ آن‌ واحد باشد و واحد حجم‌ مکعبی‌ است‌ به‌ ضلع‌ واحد (در مورد پیشینة‌ انتخاب‌ واحدها در آثار بنوموسی‌ رجوع کنید بهدائرة‌المعارف‌ بزرگ‌ اسلامی‌ ، ج‌ 12، ص‌ 694). در حل‌ این‌ معادله‌، خیام‌ فرض‌ می‌کند که‌ AB ضلع‌ مکعبی‌ به‌ مساحت‌ b باشد. در این‌ صورت‌، بنا بر یکی‌ از قضایای‌ کمکی‌ای‌ که‌ او خود اثبات‌ کرده‌ است‌، می‌توان‌ مستطیلی‌ به‌ ضلع‌ BC بنا کرد، به‌ طول‌ که‌ .BC=c 2 AB . بنابراین‌ معادله‌ به‌ صورت‌ .BC 2 x=AB 2 +AB 3 x در می‌آید.مرحلة‌ دوم‌: انتخاب‌ منحنیها. با ضرب‌ طرفین‌ معادله‌ در x خواهیم‌ داشت‌:) 2 (BC. x - x 2 = AB 4 xو یا2 = BC x - x 2 AB 4 xطرفین‌ این‌ رابطه‌ را مساوی‌ با 2 y می‌گیریم‌. خواهیم‌ داشت‌:) 1 AB ) 2 y=x  2 AB 4 = x 2 y) 2 ( 2 = BC . x - x 2 yمعادلة‌ (1) معادلة‌ سهمی‌ای‌ است‌ به‌ رأس‌ محور مختصات‌ و پارامتر AB 1 (خیام‌، 1339 ش‌ ب‌ ، ص‌ 21). معادلة‌ (2) را امروزه‌ به‌ صورت‌4 2 = BC 2 + y 2 ) 2 (x - BCمی‌نویسیم‌ که‌ معادلة‌ دایره‌ای‌ است‌ به‌ مرکز ) 0 , 2 A(BC و شعاع‌ 2 BC ، اما معادلة‌ دایره‌ در زمان‌ خیام‌ ناشناخته‌ بوده‌ است‌. در واقع‌ خیام‌ (همانجا) این‌ معادله‌ را به‌ این‌ صورت‌ تعبیر می‌کند:= x (BC - x) 2 yو از این‌ قضیه‌ استفاده‌ می‌کند که‌ هرگاه‌ دو خط‌ MN و PQ یکدیگر را در نقطة‌ O قطع‌ کنند، شرط‌ لازم‌ و کافی‌ برای‌ آنکه‌ M, N, P, Q بر یک‌ دایره‌ باشند، این‌ است‌ که‌ داشته‌ باشیم‌OQ * OP = ON * OMبا فرض‌ OM=ON=y و PQ=BC و OP=x ، این‌ شرط‌ به‌ رابطة‌ = x (BC - x) 2 y تبدیل‌ می‌شود. بنابراین‌، رابطة‌ (2) همان‌ معادلة‌ دایره‌ای‌ می‌شود که‌ به‌ روش‌ تحلیلی‌ به‌ دست‌ می‌آید.خیام‌ (1339 ش‌ ب‌ ، ص‌ 26) می‌گوید که‌ چون‌ این‌ سهمی‌ و دایره‌ داده‌شده‌اند، بنابراین‌ نقطة‌ تقاطع‌ آنها، که‌ همان‌ ریشة‌ معادله‌ است‌، نیز داده‌ شده‌ است‌. به‌ عبارت‌ دیگر، وی‌ به‌ طور شهودی‌ مسلّم‌ می‌گیرد که‌ این‌ دو منحنی‌ یکدیگر را قطع‌ می‌کنند (شکل‌6).در مورد معادلات‌ دیگر، روش‌ خیام‌ اصولاً یکسان‌ است‌. منحنیهایی‌ که‌ وی‌ از آنها استفاده‌ می‌کند عبارت‌اند از دایره‌ و سهمی‌ (در مورد معادلة‌ +ax=b 3 x ) و سهمی‌ و هذلولی‌ متساوی‌الساقین‌ (در مورد سایر مقترنات‌ سه‌ جمله‌ای‌). از میان‌ مقترنات‌ چهار جمله‌ای‌، معادلات‌+ bx = c 2 + ax 3 x2 + bx + c = ax 3 x+ c 2 + bx = ax 3 xاز راه‌ تقاطع‌ یک‌ دایره‌ و یک‌ هذلولی‌ و چهار معادلة‌ دیگر از راه‌ تقاطع‌ دو هذلولی‌ حل‌ می‌شوند. با این‌ حال‌ خیام‌، چون‌ همواره‌ یک‌ شاخة‌ هذلولی‌ متساوی‌الساقین‌ را در نظر می‌گیرد، در حالاتی‌ هم‌ که‌ معادله‌ می‌تواند سه‌ ریشة‌ مثبت‌ داشته‌ باشد تنها یک‌ ریشة‌ مثبت‌ آن‌ را به‌ دست‌ می‌آورد.شرف‌الدین‌ طوسی‌ و دنبالة‌ کار خیام‌. تا این‌ اواخر تصور می‌شد که‌ رسالة‌ جبر خیام‌ نقطة‌ اوج‌ علم‌ جبر در عالم‌ اسلام‌ است‌، اما با کشف‌ رسالة‌ المعادلات‌ از شرف‌الدین‌ طوسی‌ * ، ریاضیدان‌ ایرانی‌ قرن‌ ششم‌، معلوم‌ شد که‌ پس‌ از خیام‌ نیز ریاضیدانانی‌ برنامة‌ او را ادامه‌ داده‌اند. المعادلات‌ رساله‌ای‌ است‌ در جبر که‌ تنها تلخیصی‌ از آن‌ به‌ دست‌ ما رسیده‌ و کاتب‌ در مقدمه‌ (طوسی‌، ج‌ 1، ص‌ 2) آن‌ را تلخیص‌ صناعة‌ الجبر و المقابلة‌ نام‌ داده‌ و گفته‌ که‌ عبارات‌ آن‌ را تلخیص‌ و جداول‌ آن‌ را حذف‌ کرده‌ است‌. با اینکه‌ بدون‌ این‌ جداول‌ درک‌ مقصود طوسی‌، به‌ خصوص‌ در مورد حل‌ معادلات‌ عددی‌ بسیار دشوار است‌، رشدی‌ راشد توانسته‌ است‌ این‌ کتاب‌ را بازسازی‌ و تحلیل‌ کند.بر خلاف‌ روش‌ خیام‌ که‌ جبری‌ و کلی‌ است‌، روش‌ طوسی‌ تحلیلی‌ و موضعی‌ است‌ (راشد، 1997، ص‌ 46). وی‌ معادلات‌ را بر حسب‌ اینکه‌ ریشة‌ مثبت‌ دارند یا ندارند طبقه‌بندی‌ می‌کند. به‌ این‌ ترتیب‌ هشت‌ معادله‌ که‌ همواره‌ ریشة‌ مثبت‌ دارند و پنج‌ معادله‌ که‌ «ممکن‌ است‌ حالات‌ ناممکن‌ داشته‌ باشند» (یعنی‌ ریشة‌ مثبت‌ نداشته‌ باشند) به‌دست‌ می‌آورد. در مورد معادلاتی‌ که‌ ریشة‌ مثبت‌ دارند وی‌، مانند خیام‌، از دو مقطع‌ مخروطی‌ استفاده‌ می‌کند و ریشة‌ معادله‌ را از راه‌ تقاطع‌ این‌ مقاطع‌ به‌ دست‌ می‌آورد و نیز مانند خیام‌ ریشه‌های‌ منفی‌ را نادیده‌ می‌گیرد. خیام‌ تنها به‌ طور شهودی‌ وجود ریشه‌ را مفروض‌ می‌گیرد، اما طوسی‌ با استفاده‌ از واژه‌های‌ «درونی‌» و «بیرونی‌» در مورد دو مقطع‌ مخروطی‌ای‌ که‌ در حل‌ معادله‌ به‌ کار می‌رود، نشان‌ می‌دهد که‌ این‌ ریشه‌ وجود دارد (همان‌، ص‌ 46ـ47).در بخش‌ دوم‌ المعادلات‌ ، طوسی‌ به‌ بررسی‌ معادلاتی‌ که‌ ممکن‌ است‌ ریشة‌ مثبت‌ نداشته‌ باشند، می‌پردازد. این‌ معادلات‌ عبارت‌اند از:2 + c = ax 3 x+ c = bx 3 x+ c = bx 2 + ax 3 x2 + bx + c = ax 3 x+ bx 2 + c = ax 3 xبرای‌ بررسی‌ حالتی‌ که‌ ریشة‌ مثبت‌ وجود ندارد، طوسی‌ هر یک‌ از این‌ معادلات‌ را به‌ صورت‌ f(x)=c می‌نویسد، که‌ در آن‌ f(x) تابعی‌ چند جمله‌ای‌ از درجة‌ سوم‌ و c مقدار ثابت‌ معادله‌ است‌. به‌ این‌ ترتیب‌، بررسی‌ وجود ریشة‌ مثبت‌ به‌ بررسی‌ نقاط‌ تقاطع‌ تابع‌ y=f(x) و تابع‌ ثابت‌ y=c منتهی‌ می‌شود. برای‌ این‌ کار، طوسی‌ رفتار تابع‌ y=f(x) را بررسی‌ می‌کند تا مقدار بیشینة‌ این‌ تابع‌ را، که‌ وی‌ آن‌ را بزرگ‌ترین‌ عدد (العددالاعظم‌) می‌نامد به‌ دست‌ آورد. وی‌ نقطه‌ای‌ به‌ مختصات‌ ( 0 , y 0 x ) را که‌ در آن‌ تابع‌ بیشینه‌ می‌شود و نیز مقادیر 0 f(x)= ، یعنی‌ نقاط‌ برخورد منحنی‌ نمایش‌ تابع‌ را به‌ محور x ، به‌ دست‌ می‌آورد. با این‌ کار حدود ریشة‌ معادلة‌ اصلی‌ معلوم‌ می‌شود (ریشة‌ معادلة‌ f(x)=c بین‌ ریشه‌های‌ معادلة‌ 0 f(x)= است‌).برای‌ پیدا کردن‌ مقدار بیشینة‌ f(x) ، طوسی‌ معادلة‌ 0 (x)=  f را حل‌ می‌کند که‌ در آن‌ (x)  f مشتق‌ f(x) است‌ (طوسی‌ توضیح‌ نمی‌دهد که‌ از چه‌ طریقی‌ به‌ معادلة‌ مشتق‌ رسیده‌ است‌). مثلاً در مورد معادلة‌2 + c = ax 3 x3 - x 2 f(x) = ax و 2 x 3 ax - 2 (x) =  f . ریشه‌های‌ معادلة‌ اخیر عبارت‌اند از صفر و 3 a 2 که‌ به‌ ترتیب‌ مقدار کمینة‌ صفر و مقدار بیشینة‌ 0 )=c 3 a 2 f( را به‌ دست‌ می‌دهند. از سوی‌ دیگر، معادلة‌ 0 f(x)= دارای‌ ریشة‌ مضاعف‌ 0 = 1  و ریشة‌ سادة‌ =a 2  است‌. طوسی‌ نتیجه‌ می‌گیرد که‌ اگر 0 c < c ، آنگاه‌ معادلة‌ 2 +c=ax 3 x دو ریشة‌ مثبت‌ 1 x و 2 x دارد که‌ در بین‌ ریشه‌های‌ معادلة‌ 0 f(x)= و در دو سوی‌ ریشة‌ معادلة‌ 0 (x)=  f قرار دارند. در مورد معادلات‌ دیگر نیز نحوة‌ استدلال‌ طوسی‌ به‌ همین‌ صورت‌ است‌ ( رجوع کنید بههمان‌، ص‌ 47ـ 48).دستاورد مهم‌ دیگر طوسی‌ حل‌ عددی‌ معادلات‌ درجة‌ سوم‌ است‌. وی‌ روشی‌ را که‌ پیش‌ از آن‌ برای‌ استخراج‌ کعب‌ (یعنی‌ حل‌ عددی‌ معادلة‌ =c 3 x ) به‌ کار می‌رفت‌، و امروزه‌ به‌ روش‌ روفینی‌ ـ هورنر معروف‌ است‌، به‌ معادلات‌ درجة‌ سوم‌ چند جمله‌ای‌ تعمیم‌ می‌دهد و از راه‌ تقریبهای‌ متوالی‌ ریشة‌ تقریبی‌ این‌ نوع‌ معادلات‌ را به‌ دست‌ می‌آورد (همان‌، ص‌ 50 ـ52).جبر پس‌ از شرف‌الدین‌ طوسی‌. آثار مکتب‌ کرجی‌، خیام‌ و شرف‌الدین‌ طوسی‌ اوج‌ سنّت‌ جبری‌ در عالم‌ اسلام‌ است‌ و پس‌از ایشان‌، این‌ علم‌ پیشرفت‌ چندانی‌ در جهان‌ اسلام‌ نداشت‌. با این‌ حال‌، از اشاراتی‌ در بعضی‌ از منابع‌ معلوم‌ می‌شود که‌ برخی‌ از ریاضیدانان‌ کار شرف‌الدین‌ طوسی‌ را می‌شناخته‌اند ( رجوع کنید بههمان‌، ص‌ 53 ـ54). کوشش‌ برای‌ حل‌ برخی‌ از معادلات‌ درجة‌ سوم‌ به‌ کمک‌ رادیکالها نمونه‌ای‌ دیگر از زنده‌ بودن‌ سنّت‌ جبری‌ است‌ ( رجوع کنید به سطور پیشین‌) و نیز وجود آثاری‌ چون‌ مفتاح‌الحساب‌ غیاث‌الدین‌ جمشید کاشانی‌ (اتمام‌ تألیف‌ در 830) نشانة‌ آشنایی‌ عمیق‌ مؤلف‌ با سنّت‌ جبری‌ کرجی‌ است‌. قواعدی‌ که‌ کاشانی‌ برای‌ جمع‌ و تفریق‌ چند جمله‌ایها ( رجوع کنید بهص‌ 190ـ191) و ضرب‌ یک‌ جمله‌ایها در یکدیگر و چند جمله‌ایها در یکدیگر (ص‌ 191ـ194) و تقسیم‌ چند جمله‌ایها بر یک‌ جمله‌ایها (ص‌ 194ـ 195) به‌ دست‌ می‌دهد، همان‌ قواعدی‌ است‌ که‌ در آثار کرجی‌ و سموأل‌ دیده‌ می‌شود. در مورد حل‌ معادلات‌، کاشانی‌ در مفتاح‌الحساب‌ به‌ شش‌ معادلة‌ درجات‌ اول‌ و دوم‌ اکتفا کرده‌ و ظاهراً کار خیام‌ را نمی‌شناخته‌ است‌، چون‌ می‌گوید که‌ پیشینیان‌ در بارة‌ حل‌ معادلات‌ از درجات‌ بالاتر از دو چیزی‌ نگفته‌اند جز شارح‌ بهائیه‌ (ابن‌خوّام‌ * ) که‌ گفته‌ است‌ که‌ شرف‌الدین‌ مسعودی‌ جز این‌ شش‌ دسته‌، نوزده‌ دسته‌ معادلة‌ دیگر را، از درجة‌ سوم‌، حل‌ کرده‌ است‌ (غیاث‌الدین‌ جمشید کاشانی‌، ص‌ 198ـ199). پیداست‌ که‌ مأخذ کاشانی‌ میان‌ شرف‌الدین‌ طوسی‌ و شرف‌الدین‌ مسعودی‌، فیلسوف‌ و دانشمند قرن‌ ششم‌، خلط‌ کرده‌ است‌. کاشانی‌ مدعی‌ است‌ که‌ شمار معادلات‌ ممکن‌ (یعنی‌ معادلاتی‌ با ضرایب‌ مثبت‌) از درجة‌ 4  n نود و پنج‌ است‌ و می‌گوید که‌ او خود راه‌حل‌ هفتاد معادلة‌ درجة‌ چهار و نیز نوزده‌ معادله‌ای‌ را که‌ شرف‌الدین‌ «مسعودی‌» حل‌ کرده‌ به‌ دست‌ آورده‌ است‌، و وعده‌ می‌دهد که‌ در این‌باره‌ کتاب‌ جداگانه‌ای‌ بنویسد. متأسفانه‌ این‌ کتاب‌ کاشانی‌، اگر هم‌ تألیف‌ شده‌ باشد، از میان‌ رفته‌ است‌، و به‌ این‌ سبب‌ معلوم‌ نیست‌ که‌ راه‌ حلهایی‌ که‌ او مدعی‌ یافتن‌ آن‌ است‌ هندسی‌ بوده‌ است‌ یا به‌ کمک‌ رادیکالها.گذشته‌ از این‌ آثار، آثار بسیار دیگری‌ هم‌ تألیف‌ شده‌ که‌ هر چند از اهمیت‌ نظری‌ خاصی‌ برخوردار نیستند بر رواج‌ این‌ علم‌ در جهان‌ اسلام‌ دلالت‌ می‌کنند. با همة‌ اختلاف‌ نظری‌ که‌ در بارة‌ جایگاه‌ جبر در میان‌ علوم‌ وجود داشت‌ ( رجوع کنید به «جایگاه‌ جبر در میان‌ علوم‌»)، علم‌ جبر از همان‌ آغاز به‌ صورت‌ جزء لاینفک‌ علوم‌ ریاضی‌ در آمد و گواه‌ آن‌ آثار بسیاری‌ است‌ که‌ در این‌ زمینه‌ در شرق‌ و غرب‌ عالم‌ اسلام‌ تألیف‌ شده‌ و واژة‌ «جبر» یا «جبر و مقابله‌» در عنوان‌ بسیاری‌ از آنها آمده‌ است‌. در میان‌ این‌ آثار می‌توان‌ از کتابها و رساله‌های‌ زیر نام‌ برد: المقدمة‌الکافیة‌ فی‌ اصول‌ الجبر و المقابلة‌ از ابوالحسن‌ علی‌ سهروردی‌ (متوفی‌ 533؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 320)؛ ارجوزة‌ یاسمینیه‌ در علم‌ جبر از ابن‌یاسمین‌ * مراکشی‌ (متوفی‌ ح 601؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 53)؛ نصاب‌الحبر فی‌ حساب‌الجبر از ابن‌ فلّوس‌ ماردینی‌ (590 ـ637 یا 650؛ رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 40)؛ اختصارالجبر از ابن‌ بدر * (متوفی‌ پیش‌ از 687؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 14) از مردم‌ بلنسیه‌ (والنسیا) در اندلس‌؛ رسالة‌ جبر و مقابله‌ از خواجه‌ نصیرالدین‌ طوسی‌؛ رسالة‌ جبر از ابوالعلای‌ بهشتی‌ (متوفی‌ 710؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 88) که‌ برای‌ استفادة‌ فقیهان‌ نوشته‌ شده‌ بوده‌ است‌ ( رجوع کنید بهبهشتی‌ * ، ابوالعلا)؛ الجبر و الخطأین‌ از سعدِ بیهقی‌ * (زنده‌ در 772؛ رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 262)؛ المقنع‌ فی‌ علم‌الجبر و المقابلة‌ از ابن‌هائم‌ * مصری‌ (753 یا 756ـ814؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 46)؛ و رسالة‌ جبر از ابومنصور طوسی‌ (ظاهراً سدة‌ نهم‌؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 111). غالب‌ این‌ آثار ابتدایی‌اند و از «جبر» تنها به‌ حل‌ شش‌ معادلة‌ خوارزمی‌ و گاهی‌ نیز به‌ بیان‌ قواعد حساب‌ بر روی‌ تک‌ جمله‌ایها اکتفا می‌کنند.گذشته‌ از این‌، بسیاری‌ از آثاری‌ که‌ در علم‌ حساب‌ نوشته‌ شده‌اند، در کنار قواعد حساب‌ بر روی‌ اعداد صحیح‌ و کسرها و استخراج‌ جذر و نیز محاسبة‌ مساحت‌ اشکال‌ ساده‌، شامل‌ فصلی‌ در باب‌ جبرند. از این‌ جمله‌ است‌: ارشادالحُسّاب‌ فی‌ المفتوح‌ فی‌ علم‌الحساب‌ از ابن‌فلّوس‌ ماردینی‌؛ مرشدة‌الطالب‌ الی‌ اَسنی‌ المطالب‌ از ابن‌هائم‌ مصری‌ ( رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 45)؛ لُبّالحساب‌ از علی‌بن‌ یوسف‌بن‌ علی‌ منشی‌ (قرن‌ ششم‌، چاپ‌ عکسی‌، تهران‌ 1368 ش‌)؛ رسالة‌ فی‌ طریق‌ المسائل‌ العددیة‌ ، به‌ فارسی‌، از شرف‌الدین‌ سمرقندی‌ (زنده‌ در 632؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 276)؛ کتاب‌البدیع‌ فی‌ علم‌الحساب‌ ، به‌ فارسی‌، از مسعودبن‌ احمد خاصبکی‌ (احتمالاً اواخر قرن‌ هفتم‌؛ رجوع کنید بهخاصبکی‌، ص‌ 404ـ 408)؛ رسالة‌ فی‌الحساب‌ از قاضی‌زاده‌ رومی‌ * (ح 766ـ ح 840؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 344)؛ رسالة‌ محمدیه‌ در حساب‌ از ملاعلی‌ قوشچی‌ * (متوفی‌ 879؛ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 362)؛ الکفایة‌ فی‌الحساب‌ از غیاث‌الدین‌ منصور دشتکی‌ (متوفی‌ 948؛ رجوع کنید بهقربانی‌ ص‌ 337)؛ بُغیة‌الطلاّ ب‌ من‌ علم‌الحساب‌ از تقی‌الدین‌ راصد * ، ابن‌معروف‌ (932ـ993؛ رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 200)؛ خلاصة‌الحساب‌ * از شیخ‌ بهائی‌ (953ـ1031) که‌ شروح‌ متعددی‌ به‌ فارسی‌ و عربی‌ بر آن‌ نوشته‌ شده‌ است‌ و عیون‌الحساب‌ از ملامحمدباقر یزدی‌ * (زنده‌ در 1047؛ رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 437).در برخی‌ از این‌ آثار قواعد حساب‌ و جبر در هم‌ آمیخته‌اند، اما در بسیاری‌ از آنها نخست‌ عملیات‌ در مورد اعداد معلوم‌ بیان‌ شده‌ و سپس‌ راههای‌ استخراج‌ مجهولات‌ از طریق‌ جبر ذکر شده‌ است‌. غالب‌ این‌ آثار از «حساب‌ خطأین‌» نیز، به‌ عنوان‌ یکی‌ از راههای‌ استخراج‌ مجهولات‌، در کنار جبر و مقابله‌ بحث‌ کرده‌اند. تقریباً هیچ‌ یک‌ از این‌ آثار از حد حل‌ معادلات‌ شش‌گانة‌ خوارزمی‌ فراتر نمی‌روند، هر چند در عیون‌الحساب‌ برخی‌ از معادلات‌ درجة‌ پنجم‌ به‌ صورت‌ تقریبی‌ حل‌ شده‌ است‌ (قربانی‌، ص‌ 437). غالب‌ این‌ آثار هم‌ الگوریتمهای‌ حل‌ معادلات‌ را اثبات‌ نمی‌کنند.در غرب‌ اسلامی‌ نیز، که‌ تکوین‌ علم‌ جبر در آن‌ متأخر بر شرق‌ و دنباله‌رو آن‌ بود، کتاب‌ پرنفوذ تلخیص‌ اعمال‌الحساب‌ اثر ابن‌بنّای‌ مراکشی‌ (654ـ721) به‌ همین‌ اسلوب‌ تألیف‌ شده‌ و شامل‌ دو جزء است‌. جزء اول‌، «در عدد معلوم‌»، مشتمل‌ بر اعمال‌ اصلی‌ حسابی‌ در مورد اعداد صحیح‌ و کسرها و نیز استخراج‌ جذر، و جزء دوم‌ عمدتاً در بارة‌ جبر و مقابله‌ است‌ که‌ شامل‌ حل‌ معادلات‌ شش‌گانة‌ خوارزمی‌ و نیز قواعد ضرب‌ و تقسیم‌ تک‌ جمله‌ایهای‌ جبری‌ است‌. ابن‌بنّا برای‌ توان‌، واژة‌ «اُسّ» را اختیار می‌کند، بدین‌ معنی‌ که‌ اسِّ عدد را صفر، اسّ x را یک‌، اُسّ 2 x را 2، ... و اسّ n x را n می‌گیرد. بدین‌ ترتیب‌ ضرب‌ و تقسیم‌ تک‌ جمله‌ایها به‌ جمع‌ و تفریق‌ اسّ آنها تبدیل‌ می‌شود:p+q = x q . x p xp-q = x q : x p x(ابن‌بنّا، ص‌ 76ـ77). با این‌ نامگذاری‌ ابن‌بنّا قواعدی‌ به‌ دست‌ می‌دهد که‌ معادله‌ای‌ به‌ صورت‌ p = cx +p 1 + bx +p 2 ax را به‌ صورت‌ معادلة‌ +bx=c 2 ax در می‌آورد. قواعدی‌ که‌ ابن‌بنّا به‌ دست‌ می‌دهد، هر چند کار محاسبات‌ جبری‌ را آسان‌تر می‌کند، از لحاظ‌ نظری‌ چیزی‌ بر دستاوردهای‌ کرجی‌ و مکتب‌ او نمی‌افزاید.کاربرد نماد در جبر. تقریباً همة‌ آثار مهم‌ جبری‌ دوران‌ اسلامی‌ به‌ زبان‌ متعارف‌ نوشته‌ شده‌اند و هیچ‌ کوششی‌ برای‌ نمادگذاری‌ در آنها دیده‌ نمی‌شود. تنها استثنا برخی‌ از آثاری‌ است‌ که‌ در قرنهای‌ هشتم‌ تا دهم‌ در غرب‌ اسلامی‌ تألیف‌ شده‌ است‌. غالب‌ این‌ آثار شروح‌ تلخیص‌ اعمال‌الحساب‌ ابن‌بنّا هستند. ابن‌قنفذ ریاضیدان‌ الجزایری‌ (متوفی‌ 810) در حطّالنقاب‌ علی‌ وجه‌ عمل‌الحساب‌ خود ( رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 42)، که‌ شرحی‌ است‌ بر تلخیص‌ ابن‌بنّا، برای‌ برخی‌ از اصطلاحات‌ جبری‌ صورت‌ مختصری‌ اختیار کرده‌ است‌. وی‌ شی‌ء را به‌ «ش‌» و «مال‌» را به‌ «م‌» و «کعب‌» را به‌ «ک‌» و «مال‌ مال‌» را به‌ «م‌ م‌» نشان‌ داده‌ و برای‌ تساوی‌ نیز حرف‌ «ل‌» را برگزیده‌ است‌. یکی‌ دیگر از علمای‌ قرن‌ هشتم‌ به‌ نام‌ یعقوب‌بن‌ ایوب‌بن‌ عبدالواحد نیز از همین‌ نشانه‌های‌ ابن‌قنفذ استفاده‌ کرده‌ است‌ ( رجوع کنید به تاریخ‌ علم‌الجبر فی‌العالم‌ العربی‌ ، ج‌ 1، مقدمة‌ سعیدان‌، ص‌ 44). این‌ گونه‌ نمادگذاری‌ در کشف‌الجَلباب‌ عن‌ علم‌الحساب‌ قَلصادی‌ (متوفی‌ 891) و کشف‌الاسرار عن‌ وضع‌ حروف‌الغبار او، که‌ خلاصه‌ای‌ است‌ از کشف‌الجلباب‌ ، به‌ کار رفته‌ است‌ (ووپکه‌، ص‌ 364). قلصادی‌ این‌گونه‌ نمادگذاری‌ را در شرح‌ تلخیص‌ اعمال‌الحساب‌ خود نیز به‌ کار برده‌ است‌. با این‌ نمادگذاری‌، فی‌المثل‌ معادلة‌ 2 x 64 + 3 x 16 = 4 x 8 به‌ صورت‌م‌م‌ ک‌ م‌8 ل‌ 16 64درمی‌آید (قلصادی‌، ص‌ 269ـ275). این‌گونه‌ خلاصه‌نویسی‌ در بغیة‌الطلاب‌ فی‌ شرح‌ منیة‌الحُسّاب‌ ابن‌غازیِ مَکناسی‌ * (متوفی‌ 919)، که‌ شرحی‌ است‌ به‌ نثر بر منظومة‌ ریاضی‌ مؤلف‌، هم‌ دیده‌ می‌شود. ظاهراً این‌گونه‌ استفاده‌ از علامات‌ تنها در غرب‌ اسلامی‌ رایج‌ بوده‌ و از همان‌ اوایل‌ قرن‌ دهم‌ نیز متروک‌ شده‌ است‌.با این‌ حال‌، در قرنهای‌ بعدی‌، برخی‌ از ریاضیدانان‌ ایرانی‌ به‌ مباحث‌ پیشرفته‌تر جبری‌ نیز پرداخته‌اند. در تکمله‌ای‌ که‌ ملاعلی‌ محمد اصفهانی‌ * ، ریاضیدان‌ قرن‌ سیزدهم‌، در 1240 بر عیون‌الحساب‌ ملاباقر یزدی‌ نوشته‌، معادلات‌ درجة‌ سوم‌ به‌ روشی‌ بدیع‌ حل‌ شده‌ است‌ که‌ نشانة‌ زنده‌ بودن‌ سنّت‌ علم‌ جبر اسلامی‌ در ایران‌ آن‌ زمان‌ است‌ (راشد، 1992، ص‌ 394). فرزند همین‌ اصفهانی‌، میرزا عبدالغفار نجم‌الدوله‌ (1255ـ1316)، در 1276، در دوران‌ دانشجویی‌ در دارالفنون‌، در رساله‌ای‌ به‌ نام‌ حلّ مالاینحل‌ مسائلی‌ را که‌ در آخر خلاصة‌الحساب‌ شیخ‌ بهایی‌ آمده‌ و به‌ معادلات‌ جبری‌ درجة‌ چهارم‌ منجر می‌شوند حل‌ کرده‌ است‌ (پاکدامن‌، ص‌ 329ـ330). این‌ کتاب‌ را می‌توان‌ نقطة‌ پایان‌ جبر اسلامی‌ و سرآغاز جبر جدید در ایران‌ دانست‌.تأثیر جبر دوران‌ اسلامی‌ در اروپا. آشنایی‌ اروپاییان‌ با علم‌ جبر با ترجمة‌ لاتینی‌ جبر و مقابلة‌ خوارزمی‌ آغاز شد. از این‌ کتاب‌ دو ترجمة‌ لاتینی‌ در دست‌ است‌: یکی‌ ترجمة‌ روبرت‌ چستری‌ (یا روبرت‌ ریدینگی‌ ) که‌ در 1144 میلادی‌ انجام‌ شده‌ است‌ (کارپینسکی‌ ، ص‌ 127) این‌ ترجمه‌ نامهای‌ گوناگون‌ دارد که‌ در همة‌ آنها واژه‌های‌ جبر و مقابله‌ آمده‌ است‌ (از جمله‌ Liber algebrae et almucabola )، و دیگری‌ ترجمه‌ ژرار (گرارد) کرمونایی‌ (ح 1114ـ1187) که‌ تاریخش‌ معلوم‌ نیست‌ اما به‌ احتمال‌ زیاد پس‌ از ترجمة‌ روبرت‌ چستری‌ انجام‌ شده‌ است‌. این‌ ترجمه‌ هم‌ De iebra et almucabala نام‌ دارد. از هر دو ترجمه‌ نسخه‌های‌ متعدد (و گاه‌ متفاوتی‌) باقی‌مانده‌ است‌ که‌ گواه‌ بر تأثیر آنها در تحول‌ جبر در اروپای‌ قرون‌ وسطاست‌. از طریق‌ این‌ ترجمه‌هاست‌ که‌ اروپاییان‌ با علم‌ جبر آشنا شدند. تأثیر جبر اسلامی‌ در آثار لئوناردو فیبوناتچی‌ (ح 1170ـ پس‌ از1240) که‌ معمولاً نخستین‌ ریاضیدان‌ بزرگ‌ اروپایی‌ شمرده‌ می‌شود، به‌ ویژه‌ در > کتاب‌ حساب‌ < او، به‌ خصوص‌ پس‌ از تحقیق‌ در آثار ابوکامل‌ معلوم‌ شده‌ است‌. این‌ اثر، «از لحاظ‌ محتوای‌ ریاضی‌، از حد آثار اسلاف‌ عربی‌نویس‌ فیبوناتچی‌ فراتر نمی‌رود» ( زندگینامة‌ علمی‌ دانشوران‌ ، ج‌ 4، ص‌ 608).گذشته‌ از این‌ پیوندهای‌ تاریخی‌، پیوندهای‌ مفهومی‌ میان‌ جبر دوران‌ اسلامی‌ و جبر جدید اروپایی‌ تا قرن‌ هفدهم‌ ادامه‌ می‌یابد. شیوة‌ فرما در محاسبة‌ مقادیر بیشینه‌ و کمینة‌ توابع‌ به‌ شیوة‌ شرف‌الدین‌ طوسی‌ بسیار نزدیک‌ است‌ (طوسی‌، ج‌ 1، مقدمة‌ راشد، ص‌ XXX-XXVII ) و برنامه‌ای‌ را که‌ دکارت‌ از 1619 آغاز کرد، و حاصل‌ آن‌ کتاب‌ > هندسة‌ < اوست‌ که‌ در 1637 منتشر شد، می‌توان‌ ادامه‌ و مکمل‌ کار خیام‌ در جبر و مقابله‌ دانست‌ (راشد و وهاب‌زاده‌، ص‌ 12ـ29).منابع‌: ابن‌ ابی‌اصیبعه‌، کتاب‌ عیون‌ الانباء فی‌ طبقات‌ الاطباء ، چاپ‌ امرؤالقیس‌بن‌ طحان‌ [ آوگوست‌ مولر ] ، کونیگسبرگ‌ و قاهره‌ 1299/1882، چاپ‌ افست‌ انگلستان‌ 1972؛ ابن‌اکفانی‌، ارشاد القاصد الی‌ أسنی‌ المقاصد ، چاپ‌ محمود فاخوری‌، محمد کمال‌، و حسین‌ صدیق‌، بیروت‌ 1998؛ ابن‌بنّا، تلخیص‌ اعمال‌الحساب‌ ، حققه‌ و ترجمه‌ الی‌ الفرنسیة‌ محمد سویسی‌، تونس‌ 1969؛ ابن‌خلّکان‌؛ ابن‌سینا، فی‌ اقسام‌ العلوم‌العقلیة‌ ، در الفلسفة‌ الاسلامیة‌ ، فرانکفورت‌ 1999؛ همو، منطق‌المشرقیین‌ ، قاهره‌ [ 1328/1910 ] ، چاپ‌ افست‌ تهران‌ [ بی‌تا. ] ؛ ابن‌غازی‌، بغیة‌ الطلاب‌ فی‌ شرح‌ مُنیة‌الحُسّاب‌ ، چاپ‌ محمد سویسی‌، حلب‌ 1403/1983؛ ابن‌ندیم‌؛ ابوریحان‌ بیرونی‌، کتاب‌التفهیم‌ لاوائل‌ صناعة‌ التنجیم‌ (متن‌ عربی‌)، با ترجمة‌ انگلیسی‌ از رمزی‌ رایت‌، لندن‌ 1934، همان‌ (متن‌ فارسی‌)، چاپ‌ جلال‌الدین‌ همائی‌، تهران‌ 1362 ش‌؛ همو، کتاب‌القانون‌المسعودی‌ ، حیدرآباد دکن‌ 1373ـ 1375/ 1954ـ 1956؛ شجاع‌بن‌ اسلم‌ ابوکامل‌، کتاب‌ الجبر و المقابلة‌ ، چاپ‌ عکسی‌ از نسخة‌ خطی‌ کتابخانة‌ بایزید استانبول‌، مجموعة‌ قره‌ مصطفی‌ پاشا، ش‌ 379، فرانکفورت‌ 1406 الف‌ ؛ همو، کتاب‌ طرائف‌الحساب‌ لابی‌کامل‌ ، در تاریخ‌ علم‌الجبر فی‌ العالم‌ العربی‌: دراسة‌ مقارنة‌ مع‌تحقیق‌ لاهمّ کتب‌ الجبرالعربیة‌ ، چاپ‌ احمد سلیم‌ سعیدان‌، ج‌ 1، کویت‌: المجلس‌ الوطنی‌ للثقافة‌ و الفنون‌ و الاداب‌، 1406 ب‌ ؛ احمدبن‌ یحیی‌ بلاذری‌، انساب‌الاشراف‌ ، ج‌ 3، چاپ‌ عبدالعزیز دوری‌، بیروت‌ 1398/1978؛ همو، فتوح‌البلدان‌ ، چاپ‌ عبداللّه‌ انیس‌ طباع‌ و عمر انیس‌ طباع‌، بیروت‌ 1407/1987؛ بنوموسی‌، کتاب‌ معرفة‌ مساحة‌ الاشکال‌ البسیطة‌ و الکریة‌ لبنی‌ موسی‌ محمد و الحسن‌ و احمد ، درLes mathإmatiques infinitإsimales du IX e au XI e siةcle , ]ed[ Roshdi Rashed, vol.1, London: Al -Furqa ¦n Islamic Heritage Foundation, 1416/1996;ناصر پاکدامن‌، «میرزا عبدالغفار نجم‌الدوله‌ و تشخیص‌ نفوس‌ دارالخلافه‌ »، فرهنگ‌ ایران‌ زمین‌ ، ج‌ 20 (1353 ش‌)؛ تاریخ‌ علم‌الجبر فی‌ العالم‌ العربی‌: دراسة‌ مقارنة‌ مع‌ تحقیق‌ لاهمّ کتب‌ الجبر العربیة‌ ، چاپ‌ احمد سلیم‌ سعیدان‌، کویت‌: المجلس‌ الوطنی‌ للثقافة‌ و الفنون‌ و الاداب‌، 1406/1986؛ حاجی‌خلیفه‌؛ مسعودبن‌ احمد خاصبکی‌، کتاب‌ البدیع‌ فی‌ علم‌الحساب‌ ، در سفینة‌ تبریز ، گردآوری‌ و به‌ خط‌ ابوالمجد محمدبن‌ مسعود تبریزی‌، چاپ‌ عکسی‌ از نسخة‌ خطی‌ کتابخانة‌ مجلس‌ شورای‌ اسلامی‌، تهران‌: مرکز نشر دانشگاهی‌، 1381 ش‌؛ محمدبن‌ احمد خوارزمی‌، کتاب‌ مفاتیح‌العلوم‌ ، چاپ‌ فان‌ فلوتن‌، لیدن‌ 1895، چاپ‌ افست‌ 1968؛ محمدبن‌ موسی‌ خوارزمی‌، کتاب‌ الجبر و المقابلة‌ ، چاپ‌ علی‌ مصطفی‌ مشرفه‌ و محمد مرسی‌ احمد، [ قاهره‌ ] 1968؛ عمربن‌ ابراهیم‌ خیام‌، رسالة‌ لابی‌ الفتح‌ عمربن‌ ابراهیم‌ الخیامی‌ [ رسالة‌ تحلیل‌ ] ، ترجمة‌ فارسی‌: رساله‌ در تحلیل‌ یک‌ مسئله‌ ، در حکیم‌ عمر خیام‌ بعنوان‌ عالم‌ جبر ، چاپ‌ غلامحسین‌ مصاحب‌، تهران‌: انجمن‌ آثار ملی‌، 1339 ش‌ الف‌ ؛ همو، مقالة‌ فی‌ الجبر و المقابلة‌ ، ترجمة‌ فارسی‌: رساله‌ی‌ جبر خیام‌ ، در همان‌، 1339 ش‌ ب‌ ؛ دائرة‌المعارف‌ بزرگ‌ اسلامی‌ ، زیرنظر کاظم‌ موسوی‌ بجنوردی‌، تهران‌ 1367 ش‌ ـ ، ذیل‌ «بنی‌موسی‌» (از حسین‌ معصومی‌ همدانی‌)؛ دیوفانتوس‌ اسکندرانی‌، صناعة‌ الجبر لِدیوفنطس‌ الاسکندرانی‌ ، ترجمة‌ قسطابن‌ لوقا، چاپ‌ رشدی‌ راشد، [ قاهره‌ ] 1975؛ سموأل‌بن‌ یحیی‌ مغربی‌، الباهر فی‌ الجبر ، چاپ‌ رشدی‌ راشد و صلاح‌ احمد، دمشق‌ 1972؛ احمدبن‌ مصطفی‌ طاشکوپری‌زاده‌، مفتاح‌ السعادة‌ و مصباح‌ السیادة‌ ، بیروت‌ 1405/1985؛ مظفربن‌محمد طوسی‌، المؤلفات‌ الریاضیّة‌ لشرف‌الدین‌ الطوسی‌: الجبر و الهندسة‌ فی‌ القرن‌ الثانی‌ عشر ، تحقیق‌ و ترجمة‌ رشدی‌ راشد، پاریس‌ 1986؛ غیاث‌الدین‌ جمشید کاشانی‌، مفتاح‌ الحساب‌ ، چاپ‌ سعید دمرداش‌ و محمد حمدی‌ حفنی‌ شیخ‌، قاهره‌ ?[ 1967 ] ؛ محمدبن‌ محمد فارابی‌، احصاءالعلوم‌ ، چاپ‌ عثمان‌ امین‌، قاهره‌ 1949؛ محمدبن‌ عمر فخررازی‌، جامع‌العلوم‌ ( ستّینی‌ )، چاپ‌ علی‌ آل‌داود، تهران‌ 1382 ش‌؛ ابوالقاسم‌ قربانی‌، زندگینامة‌ ریاضیدانان‌ دورة‌ اسلامی‌: از سدة‌ سوم‌ تا سدة‌ یازدهم‌ هجری‌ ، تهران‌ 1365 ش‌؛ علی‌بن‌ محمد قَلَصادی‌، شرح‌ تلخیص‌ اعمال‌ الحساب‌ ، چاپ‌ فارس‌ بنطالب‌، بیروت‌ 1999؛ محمدبن‌ حسین‌ کرجی‌، کتاب‌ البدیع‌ فی‌ الحساب‌ ، چاپ‌ عادل‌ انبوبا، بیروت‌ 1964؛ همو، کتاب‌ الفخری‌ للکرجی‌ ، در تاریخ‌ علم‌الجبر فی‌ العالم‌العربی‌ ، ج‌ 1، همان‌، 1406/1986؛ محمدبن‌ محمد نصیرالدین‌ طوسی‌، تلخیص‌ المُحَصَّل‌، بانضمام‌ رسائل‌ و فوائد کلامی‌ ، چاپ‌ عبداللّه‌ نورانی‌، تهران‌ 1359 ش‌؛ همو، رسالة‌ جبر و مقابله‌ ، چاپ‌ اکبر داناسرشت‌، تهران‌ 1335 ش‌؛Adel Anbouba, "L , algةbre arabe aux IX e et X e siةcles: aper u gإnإral", Journal for the history of Arabic science , vol.2, no.1 (May 1978); Hإlةne Bellosta, "L , إmergence du nإgatif", in De Zإnon d , ـlإe ب Poincarإ: recueil d , إtudes en hommage ب Roshdi Rashed , ed. Rإgis Morelon and Ahmad Hasnawi, Louvain: ـditions Peeters, 2004; Marouane Ben Miled, "Les commentaires d , A l -Ma ¦ha ¦n ¦et d , un anonyme du Livre X des ـlإments d , Euclide", Arabic sciences and philosophy , vol.9, no.1 (Mar. 1999); idem, "Les quantitإs irrationnelles dans L , uvre d , A l -Karaj ¦ ", in De Zإnon d , ـlإe ب Poincarإ , ibid, 2004; Dictionary of scientific biography , ed. Charles Coulston Gillispie, New York: Charles Scribner , s Sons, 1981, s.vv. "Diophantus of Alexandria", "Fibonacci, Leonardo" (by Kurt Vogel); Diophantus of Alexandria, Les arithmإtiques , texte إtabli et traduit par Roshdi Rashed, vol.3 and 4, Paris 1984; EI 2 , s.v. " A l -Djabr wa , l-muk ¤a ¦bala" (by Willy Hartner); Euclid, The thirteen books of Euclid , s Elements , translated from the text of Heiberg with introduction and commentary by Thomas L. Heath, 2nd ed. revised with additions, New York 1956; Solomon Gandz, "The origin and development of the quadratic equations in Babylonian, Greek and early Arabic algebra", Osiris , 3(1937); Thomas L. Heath, A history of Greek mathematics , New York 1981; Louis Charles Karpinski, "Robert of Chester , s translation of the Algebra of A l -Khowarizmi", Bibliotheca mathematica , 11(1910-1911); Martin Levey, The Algebra of Abu ¦ Ka ¦mil: Kita ¦b f  ¦ al-jabr wa , l-muqa ¦bala in a commentary by Mordecai Finzi , Madison 1966; Paul Luckey, " T ¤a ¦bit b.Qurra دber den geometrischen Richtigkeitsnachweis der Auflosung der quardratischen Gleichungen", Berichte دber die Verhandlungen der Sachsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , 93 (1941); Otto Neugebauer, The exact sciences in antiquity , Providence 1957; Pappus of Alexandria, The commentary of Pappus on the book X of Euclid , s Elements , Arabic text and translation by William Thomson, Cambridge, Mass. 1930; Claudius Ptolemy, Ptolemy , s Almagest , translated and annotated by G.J. Toomer, London 1984; Roshdi Rashed, "L , algةbre", in Histoire des science arabes , ed. Roshdi Rashed, vol.2, Paris 1997; idem, Entre arithmإtique et algةbre: recherches sur l , histoire des mathإmatiques arabes , Paris 1984; idem, "L , induction mathإmatique: al-Karaj ¦, as- Samaw , al", Archive for history of exact sciences , vol.9, no.1 (1972); idem, "Mathإmatiques traditionnelles dans les pays islamiques au XIX e siةcle: l , exemple de l , Iran", in Transfer of modern science & technology to the Muslim world: Proceedings of the International Symposium on Modern Sciences and the Muslim World , ed. Ekmeleddin I hsanog §lu, Istanbul: The Research Centre for Islamic History, Art and Culture,1992;Roshdi Rashed and Bijan Wahhabzadeh, Al -Khayya ¦m mathإmaticien , Paris 2000; George A.Saliba, "The meaning of al-jabr wa , l- muqa ¦balah", in Edward S. Kennedy, Studies in the Islamic exact sciences , Beirut 1983; Ayd n Say l , Logical necessities in mixed equations by ـ Abd al Ham  ¦d ibn Turk and the algebra of his time , Ankara 1985; Fuat Sezgin, Geschichte des arabischen Schrifttums , Leiden 1967- ; Heinrich Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke , Amsterdam 1981; Bartel Leendert van der Waerden, Geometry and algebra in ancient civilizations , Berlin 1983; Franz Woepcke, Extrait du Fakhr  ¦, traitإ d , algةbre par Abou ¦ Bekr Mohammad Ben Alha an Alkarkh  ¦, prإcإdإ d , un mإmoire sur l , algةbre indإterminإe chez les Arabes , Paris 1853.نکاتی‌ در بارة‌ منشأ و تطور مفهوم‌ جبر و مقابله‌در بارة‌ اینکه‌ واژة‌ جبر در علم‌ جبر و مقابله‌ به‌ کدام‌ زبان‌ تعلق‌ دارد، چند نظر مطرح‌ شده‌ است‌. اگر بپذیریم‌ که‌ این‌ واژه‌ عربی‌ است‌، در آن‌ صورت‌ برای‌ بررسی‌ وجه‌ نامگذاری‌ این‌ علم‌ به‌ «جبر» لازم‌ است‌ به‌ معنای‌ جبر در زبان‌ عربی‌ توجه‌ کنیم‌. برای‌ واژة‌ جبر چند معنا برشمرده‌اند، از جمله‌: بازسازی‌ و ترمیم‌ استخوانهای‌ شکسته‌ یا جوش‌ خوردن‌ آن‌، نیکو گردانیدن‌ حال‌، کسی‌ را به‌ زور به‌ کاری‌ واداشتن‌، به‌ کسی‌ ستم‌ کردن‌، تسلط‌ و قهر (برای‌ آگاهی‌ از پاره‌ای‌ معانی‌ موردی‌ واژه‌ جبر در زبان‌ عربی‌ رجوع کنید به جوهری‌؛ ابن‌منظور؛ مرتضی‌ زبیدی‌، ذیل‌ «جَبَرَ»؛ برای‌ بررسی‌ مقایسه‌ایِ معانی‌ این‌ واژه‌ رجوع کنید به دهخدا، ذیل‌ «جبر»).واژة‌ جبّار، به‌ عنوان‌ یکی‌ از نامهای‌ خداوند، در قرآن‌ کریم‌ و دعاها و غیر آن‌ به‌کار رفته‌ است‌ ( رجوع کنید به الجبّار * ).در مورد ریشة‌ واژه‌ و معنای‌ آن‌ در موضوع‌ علم‌ جبر و مقابله‌ می‌دانیم‌ که‌ نخستین‌ بار، محمدبن‌ موسی‌ خوارزمی‌ (ریاضیدان‌ ایرانی‌، متوفی‌ ح 232) در عنوان‌ اثر مهم‌ خود، کتاب‌ المختصر فی‌ حساب‌ الجبر و المقابلة‌ (در بارة‌ این‌ کتاب‌ رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 241ـ242؛ نیز رجوع کنید به بخش‌ اول‌ مقاله‌) و نیز در متن‌ کتاب‌ (از جمله‌ رجوع کنید به ص‌40) از این‌ واژه‌ برای‌ بیان‌ مفهومی‌ در ریاضیات‌ و در واقع‌ به‌ عنوان‌ بخشی‌ از علم‌ حساب‌ استفاده‌ کرده‌ است‌. بررسی‌ آثار ریاضیدانان‌ معاصر خوارزمی‌ یا متعلق‌ به‌ زمانی‌ نزدیک‌ به‌ زندگی‌ او، روشن‌ می‌سازد که‌ کاربرد این‌ واژه‌ برای‌ بیان‌ مفهومی‌ ریاضی‌، از قرن‌ سوم‌ به‌ بعد بسیار شایع‌ بوده‌ است‌، به‌ طوری‌ که‌ از چند کتاب‌ جبر و مقابله‌ در این‌ دوران‌ آگاهی‌ داریم‌، از جمله‌ کتابی‌ از سِنْدبن‌ علی‌ (زندگی‌ در قرن‌ سوم‌؛ رجوع کنید بهقربانی‌، ص‌ 274) و ابوحنیفه‌ دینوری‌ ( رجوع کنید به ابن‌ندیم‌، ص‌ 86). به‌ نوشتة‌ ابن‌ابی‌اصیبعه‌ (ج‌ 1، ص‌220)، ثابت‌بن‌ قرّه‌ نیز کتابی‌ در بارة‌ علم‌ جبر و ارتباط‌ آن‌ با هندسه‌ داشته‌ است‌. صورتهای‌ مختلف‌ صرف‌ شدة‌ این‌ واژه‌ را نیز بسیاری‌ از ریاضیدانان‌ متقدم‌ دورة‌ اسلامی‌، از جمله‌ ابوکامل‌ شجاع‌بن‌ اسلم‌ (ص‌ 49ـ 50)؛ کَرَجی‌ ( رجوع کنید به قربانی‌، ص‌ 393) و خیام‌ (ص‌ 7، 9) به‌ کار برده‌اند. اما مسلّم‌ نبودن‌ مناسبت‌ معنای‌ لغوی‌ واژه‌ در زبان‌ عربی‌ با کاربرد آن‌ در ریاضیات‌ و متون‌ ریاضی‌، باعث‌ شده‌ است‌ که‌ آرای‌ متفاوتی‌ در بارة‌ منشأ و معنای‌ آن‌ مطرح‌ شود. غالباً آن‌ را با معنای‌ اصلاح‌ و رفع‌ نقص‌ پیوند می‌دهند، اما به‌ نظر صَلیبا (ص‌ 544) این‌ واژه‌ در متون‌ ریاضی‌ از ریشة‌ جَبَر به‌ معنای‌ ناگزیر کردن‌ کسی‌ (نه‌ اصلاح‌ و رفع‌نقص‌)، گرفته‌ شده‌ است‌.گاندز (1926، ص‌437ـ439؛ همو، 1936، ص‌274ـ 275) این‌ واژه‌ را مأخوذ از ریشة‌ آشوری‌ جَبْر، به‌معنای‌ تساوی‌ و مساوی‌، می‌داند. با قبول‌ این‌ فرض‌، تنها مؤید آن‌، نزدیکی‌ زبان‌ عربی‌ و آشوری‌ به‌ همدیگر، و احتمال‌ انتقال‌ این‌ واژه‌ از آشوری‌ به‌ عربی‌ به‌ سبب‌ قرار گرفتن‌ این‌ دو زبان‌ در خانوادة‌ زبانهای‌ آرامی‌ است‌ (نیز رجوع کنید به گاندز، 1926، ص‌ 438ـ440).به‌ نظر سزگین‌ (ص‌ 73)، واژة‌ جبر در کنار چند واژة‌ دیگر ریاضی‌، از جمله‌ جَیْب‌، از زبان‌ هندی‌ وارد عربی‌ شده‌ است‌. یکی‌ از مفصّل‌ترین‌ نوشته‌ها در بارة‌ ارتباط‌ بین‌ زبان‌ سنسکریت‌ و دنیای‌ اسلام‌، از آنِ ابوریحان‌ بیرونی‌ است‌ که‌ در موارد بسیاری‌ (از جمله‌ ص‌ 138ـ139، 350ـ351)، هر جا عبارت‌ یا اصطلاحی‌ را توضیح‌ می‌دهد، در صورت‌ وجود برابر سنسکریت‌، آن‌ برابر را نیز نقل‌ می‌کند. چون‌ در توضیح‌ مفهوم‌ جبر و مقابله‌ در اثر بیرونی‌ (ص‌ 48ـ51) هیچ‌ نشانی‌ از ذکر معادل‌ سنسکریت‌ وجود ندارد، مشکل‌ بتوان‌ واژة‌ جبر را مأخوذ از سنسکریت‌ دانست‌. در عین‌ حال‌، بررسی‌ هر یک‌ از آرای‌ مذکور، نیازمند مطالعة‌ عمیق‌ و همه‌جانبة‌ متون‌ ریاضیات‌ دورة‌ اسلامی‌ و نیز بررسی‌ ریشه‌شناختی‌ این‌ واژه‌ در زبانهای‌ آشوری‌ و سنسکریت‌ است‌.آنچه‌ عربی‌ بودن‌ واژة‌ جبر را پذیرفتنی‌تر می‌نماید، کاربرد آن‌ به‌وسیلة‌ خوارزمی‌ و دانشمندانِ پس‌ از او در معنای‌ توسعیِ رفع‌ نقصان‌ و شکستگی‌ در پاره‌ای‌ از معادلات‌ ریاضی‌ است‌. به‌ نظر می‌رسد خوارزمی‌ وجود جمله‌ یا جملات‌ منفی‌ در معادله‌ را نوعی‌ نقصان‌ تصور می‌کرده‌ (العبارة‌ الناقصة‌ رجوع کنید به خوارزمی‌، ص‌ 28) و برای‌ رفع‌ این‌ مشکل‌، به‌ افزودن‌ جمله‌های‌ مساوی‌ به‌ هر دو سوی‌ معادله‌ برای‌ حذف‌ جمله‌های‌ منفی‌ اقدام‌ نموده‌ است‌.خوارزمی‌، واژة‌ مقابله‌ را نیز در معنای‌ حذف‌ مقادیر مساویِ هم‌مرتبه‌ از هر دو سوی‌ جمله‌، به‌کار برده‌ است‌ (برای‌ نمونة‌ استفاده‌ از صورت‌ صرف‌ شدة‌ مقابله‌ در همین‌ معنا رجوع کنید به ص‌ 40). دو معنای‌ مذکور برای‌ این‌ دو واژه‌ را دیگر ریاضیدانان‌ دورة‌ اسلامی‌ (از جمله‌ ابوکامل‌، ص‌ 49ـ50) و نویسندگان‌ و دانشمندان‌ دیگر (از جمله‌ فخر رازی‌، ص‌ 393؛ ابن‌اکفانی‌، ص‌ 84) نیز به‌کار برده‌اند. توصیفی‌ که‌ ابن‌خلدون‌ (ج‌ 1: مقدمه‌ ، ص‌ 636ـ637) ضمن‌ توضیح‌ در بارة‌ جبر و مقابله‌، راجع‌ به‌ تشکیل‌ معادله‌ و ساده‌سازی‌ آن‌ داده‌ است‌، کمابیش‌ ناظر به‌ همین‌ معنی‌ است‌. اگرچه‌ دانشمندان‌ متعددی‌ پس‌ از خوارزمی‌ (از جمله‌ قَلَصادی‌، ص‌ 247) کوشیده‌اند تعاریفی‌ از اصطلاح‌ جبر به‌ دست‌ دهند که‌ از لحاظ‌ صورت‌ با کوشش‌ خوارزمی‌ برای‌ حل‌ مسائل‌ جبری‌ متفاوت‌ است‌، اما در عمل‌، روش‌ آنان‌، همان‌ روش‌ مورد نظر خوارزمی‌ است‌. حتی‌ کرجی‌ هم‌ که‌ تعریفی‌ کمابیش‌ متفاوت‌ با گذشتگان‌ از جبر به‌ دست‌ داده‌ و آن‌ را مجموعة‌ عملیاتی‌ دانسته‌ که‌ مجهول‌ را به‌ مرحلة‌ معلوم‌ شدن‌ نزدیک‌ کند (ص‌ 145)، از واژة‌ جبر و مشتقات‌ آن‌ همانند خوارزمی‌ استفاده‌ کرده‌ است‌ ( رجوع کنید به ص‌170؛ نیز رجوع کنید به صلیبا، ص‌ 549). البته‌ کرجی‌ (ص‌ 146) مقابله‌ را به‌ مرحله‌ای‌ از حل‌ معادله‌ اطلاق‌ می‌کند که‌ پس‌ از انجام‌ عملیات‌ جبری‌، معادله‌ به‌ یکی‌ از شش‌ صورتِنمایی‌ ( = bx 2 + bx = c ; ax 2 + c = bx ; ax 2 ; ax 2 bx + c = ax = c 2 bx = c ; ax ) تبدیل‌ شود (برای‌ چگونگی‌ صورت‌ انجام‌ عملیات‌ جبری‌ در این‌ شش‌ صورت‌ رجوع کنید به همان‌، ص‌ 146ـ163).گفتنی‌ است‌ که‌ در پاره‌ای‌ از آثار ریاضیدانان‌ دورة‌ اسلامی‌، واژة‌ جبر به‌ تنهایی‌ در معنای‌ توسعی‌ جبر و مقابله‌ نیز به‌کار رفته‌ است‌ (از جمله‌ رجوع کنید به سموأل‌بن‌ یحیی‌ مغربی‌، ص‌ 73؛ قلصادی‌، ص‌ 251).اروپاییان‌، نخستین‌ بار در قرن‌ ششم‌/ دوازدهم‌ بر اساس‌ ترجمه‌های‌ روبرت‌ چستری‌ و ژرار (گرارد) کرمونایی‌ از جبر و مقابلة‌ خوارزمی‌، با این‌ اثر آشنا شدند ( رجوع کنید به بخش‌ اول‌ مقاله‌). در قرن‌ هشتم‌/ چهاردهم‌ کاناچی‌ نخستین‌ بار واژة‌ algebra را مأخوذ از واژة‌ جبر عربی‌ به‌کار برد، که‌ امروزه‌ هم‌ در زبانهای‌ اروپایی‌ کاربرد دارد. به‌ تدریج‌ طی‌ دو قرن‌ بعد واژة‌ مذکور در زبانهای‌ اروپایی‌ متداول‌ و واژة‌ دوم‌ (یعنی‌ مقابله‌) حذف‌ شد ( د.اسلام‌ ، چاپ‌ دوم‌، ذیل‌ «خوارزمی‌»؛ گاندز، 1936، ص‌ 263).منابع‌: ابن‌ابی‌اصیبعه‌، کتاب‌ عیون‌ الانباء فی‌ طبقات‌ الاطباء ، چاپ‌ امرؤ القیس‌بن‌ طحان‌ [ آوگوست‌ مولر ] ، کونیگسبرگ‌ و قاهره‌ 1299/1882، چاپ‌ افست‌ انگلستان‌ 1972؛ ابن‌ اکفانی‌، ارشاد القاصد الی‌ أسنی‌ المقاصد ، چاپ‌ محمود فاخوری‌، محمد کمال‌، و حسین‌ صدیق‌، بیروت‌ 1998؛ ابن‌خلدون‌؛ ابن‌منظور؛ ابن‌ندیم‌؛ ابوریحان‌ بیرونی‌، کتاب‌ التفهیم‌ لاوائل‌ صناعة‌التنجیم‌ ، چاپ‌ جلال‌الدین‌ همائی‌، تهران‌ 1362 ش‌؛ شجاع‌بن‌ اسلم‌ ابوکامل‌، کتاب‌الجبر و المقابلة‌ ، چاپ‌ عکسی‌ از نسخة‌ خطی‌ کتابخانة‌ بایزید استانبول‌، مجموعة‌ قره‌ مصطفی‌ پاشا، ش‌ 379، فرانکفورت‌ 1406/1986؛ اسماعیل‌بن‌ حماد جوهری‌، الصحاح‌: تاج‌اللغة‌ و صحاح‌ العربیة‌ ، چاپ‌ احمد عبدالغفور عطار، بیروت‌ [ بی‌تا. ] ، چاپ‌ افست‌ تهران‌ 1368 ش‌؛ محمدبن‌ موسی‌خوارزمی‌، کتاب‌الجبر و المقابلة‌ ، چاپ‌ علی‌ مصطفی‌ مشرفه‌ و محمد مرسی‌ احمد، [ قاهره‌ ] 1968؛ عمربن‌ ابراهیم‌ خیام‌، مقالة‌ فی‌الجبر و المقابلة‌ ، در حکیم‌ عمر خیام‌ بعنوان‌ عالم‌ جبر ، چاپ‌ غلامحسین‌ مصاحب‌، تهران‌: انجمن‌ آثار ملی‌، 1339 ش‌؛ دهخدا؛ فؤاد سزگین‌، محاضرات‌ فی‌ تاریخ‌العلوم‌ العربیة‌ و الاسلامیة‌ ، فرانکفورت‌ 1404/1984؛ سموأل‌بن‌ یحیی‌ مغربی‌، الباهر فی‌الجبر ، چاپ‌ رشدی‌ راشد و صلاح‌ احمد، دمشق‌ 1972؛ محمدبن‌ عمر فخررازی‌، جامع‌العلوم‌ ( ستّینی‌ )، چاپ‌ علی‌ آل‌داود، تهران‌ 1382 ش‌؛ ابوالقاسم‌ قربانی‌، زندگینامة‌ ریاضیدانان‌ دورة‌ اسلامی‌: از سدة‌ سوم‌ تا سدة‌ یازدهم‌ هجری‌ ، تهران‌ 1365 ش‌؛ علی‌بن‌ محمد قَلَصادی‌، شرح‌ تلخیص‌ اعمال‌ الحساب‌ ، چاپ‌ فارس‌ بنطالب‌، بیروت‌ 1999؛ محمدبن‌ حسین‌ کرجی‌، کتاب‌ الفخری‌ للکرجی‌ ، در تاریخ‌ علم‌ الجبر فی‌ العالم‌ العربی‌: دراسة‌ مقارنة‌ مع‌ تحقیق‌ لاهمّ کتب‌الجبر العربیة‌ ، چاپ‌ احمد سلیم‌ سعیدان‌، ج‌ 1، کویت‌: المجلس‌ الوطنی‌ للثقافة‌ و الفنون‌ و الاداب‌، 1406/ 1986؛ محمدبن‌ محمد مرتضی‌ زبیدی‌، تاج‌العروس‌ من‌ جواهر القاموس‌ ، چاپ‌ علی‌ شیری‌، بیروت‌ 1414/1994؛EI 2 , s.v. " Al -Kh w a ¦razm ¦" (by J. Vernet); Solomon Gands, "The origin of the term algebra", American mathematical monthly , vol.33 (1926); idem, " The sources of Khowa ¦rizmi , s Algebra ", Osiris , I(1936); George A. Saliba, "The meaning of al-jabr wa , l-muqa ¦balah", in Edward S. Kennedy, Studies in the Islamic exact sciences , Beirut 1983.
نظر شما
ایمیل ایمیل
مولفان

حسین معصومی همدانی

فاطمه سوادی

حوزه موضوعی

تاریخ علم

رده های موضوعی
جلد 9
تاریخ چاپ 93
وضعیت انتشار
  • چاپ شده